Question

在竖直面内有一光滑水平直轨道和一光滑半圆形轨道，二者在半圆的-个端点B相切，如图所示，半圆形轨道的另一端点为C，半径为R在直轨道上距离B为S的A点，有一可看作质点的质量为m的小球处于静止状态．现用水平恒力将小球推至B处后撤去恒力，小球沿半圆轨道运动到C处后又正好落到水平面上出发点A处．
（1）求小球在C处的速度大小V_C和推力对小球所做的功W_F
（2）当S和R满足什么关系时，水平恒力做功最小并求出功的最小值．

Answer 1

分析：（1）分析小球运动的过程，可发现小球由A到B做匀加速直线运动，B到C做圆周运动，从C点开始做平抛运动；由平抛运动的规律可求得C点的速度，对小球从A到C过程，运用动能定理可求得推力所做的功；
（2）水平恒力做功越小，小球到达C点的速度越小，当W_F有最小值时，小球应恰能到达C处，此时由重力提供小球的向心力，即可由牛顿第二求出C点的速度，由上题得到S与R的关系，并求出最小的功．

解答：解：（1）设小球从C到A的飞行时间为t，在C处的速度为V_C，由平抛运动的规律，得
  在水平方向上：s=v_Ct
  在竖直方向上：y=2R=

1

2

gt2
联立解得：vC2=

gs2

4R

，
则小球在C处的速度大小v_C=

s

2

g  R

对小球从A到C过程，由动能定理得：WF-mg?2R=

1

2

mvC2-0
解得：WF=mg?2R+

1

2

mvC2=mg(2R+

S2

8R

)
（2）当W_F有最小值时，小球应恰能到达C处，此时由重力提供小球的向心力，则 
在C点：mg=m

vC2

R

又vC2=

gs2

4R

仍成立
解得：S=2R
最小功为W_min=mg（2R+

S2

8R

）=mg[2R+

(2R)2

8R

]=2.5mgR     
答：
（1）小球在C处的速度大小V_C是

g R

，推力对小球所做的功W_F为mg(2R+

S2

8R

)．
（2）当S和R满足S=2R时，水平恒力做功最小值为2.5mgR．

点评：本题综合考查了平抛运动、动能定理、向心力公式的应用，关键要认真分析物体的运动过程，将其分解为我们常见的物理学模型，如平抛、自由落体、圆周运动等，即可利用常见公式进行解答．