Question

6．粗糙绝缘的水平面附近存在一个平行于水平面的电场，其中某一区域的电场线与x轴平行，且沿x轴方向的电势φ与坐标值x的关系如表格所示：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x/m	0.05	0.10	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.45
φ/105v	9.00	4.50	3.00	2.25	1.80	1.50	1.29	1.13	1.00

根据上述表格中的数据可作出如图的φ-x图象．现有一质量为0.10kg，电荷量为1.0×10^-7C带正电荷的滑块（可视作质点），其与水平面的动摩擦因素为0.20．问：

（1）由数据表格和图象给出的信息，写出沿x轴的电势φ与x的函数关系表达式．
（2）若将滑块无初速地放在x=0.10m处，则滑块最终停止在何处？
（3）若滑块从x=0.60m处以初速度v₀沿-x方向运动，要使滑块恰能回到出发点，其初速度v₀应为多大？

Answer 1

分析 （1）电势φ与坐标x图象是一条曲线，则φ与x关系可能是反比关系，即φ∝x^-1；也可能φ与x²关系可能是反比关系，即φ∝x^-2；…，依此类推，直到找到关系为止；
（2）滑块运动过程中，只有电场力和滑动摩擦力做功，根据动能定理列式求解即可；
（3）滑块运动到最左端位置时速度为零；滑块向左运动过程中，电场力做负功，摩擦力做负功；滑块向右运动过程中，电场力做正功，摩擦力做负功；对滑块运动的全部过程和向右运动的过程分别运用动能定理列式求解即可

解答 解：（1）由数据表格和图象可得，电势ϕ与x成反比关系，即$ϕ=\frac{{4.5×{{10}^4}}}{x}$V
（2）由动能定理 W_F+W_f=△E_K=0
设滑块停止的位置为x₁，有q（ϕ-ϕ₁）-μmg（x₁-x）=0
即$q（\frac{{4.5×{{10}^4}}}{x}-\frac{{4.5×{{10}^4}}}{x_1}）-μmg（{x_1}-x）=0$
代入数据有  1.0×10^-7$（\frac{{4.5×{{10}^4}}}{0.1}-\frac{{4.5×{{10}^4}}}{x_1}）-0.20×0.10×10（{x_1}-0.1）=0$
可解得x₁=0.225m（舍去x₁=0.1m）．
（3）设滑块到达的最左侧位置为x₂，则滑块由该位置返回到出发点的过程中
由动能定理 W_F+W_f=△E_K=0
有 q（ϕ₂-ϕ）-μmg（x-x₂）=0
代入数据有   1.0×10^-7×$（\frac{4.5×{10}^{4}}{{x}_{2}}-\frac{4.5×{10}^{4}}{0.6}）-0.20×0.10×10×（0.6-{x}_{2}）=0$
可解得x₂=0.0375m（舍去x₂=0.6m）．
再对滑块从开始运动到返回出发点的整个过程，由动能定理
-2μmg（x-x₂）=$0-\frac{1}{2}m{v_0}^2$
代入数据有 2×0.20×0.10×10（0.60-0.0375）=0.5×0.10×$v_0^2$
可解得${v_0}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$≈2.12m/s
答：（1）由数据表格和图象给出的信息，沿x轴的电势φ与x的函数关系表达式为$ϕ=\frac{4.5×{10}^{4}}{x}$V．
（2）若将滑块无初速地放在x=0.10m处，则滑块最终停止在0.225m
（3）若滑块从x=0.60m处以初速度v₀沿-x方向运动，要使滑块恰能回到出发点，其初速度v₀应为2.12m/s

点评 本题首先要明确φ-x图象中任意一点的切线的斜率表示电场强度的大小，由于是变加速运动，然后对各个过程分别运用动能定理列式求解