Question

7．如图所示，AOB是由某种透明物质制成的$\frac{1}{4}$圆柱体横截面（O为圆心）折射率为$\sqrt{2}$．今有一束平行光以45°的入射角向柱体的OA平面，这些光线中有一部分不能从柱体的AB面上射出，设凡射到OB面的光线全部被吸收，也不考虑OA面的反射，求圆柱AB面上能射出光线的部分占AB表面的几分之几？（O为圆心）

Answer 1

分析 如图所示，AOB是由某种透明物质制成的$\frac{1}{4}$圆柱体横截面（O为圆心）折射率为$\sqrt{2}$．

解答 解：从O点射入的光线，折射角为r，根据折射定律有：$n=\frac{{sin{{45}°}}}{sinr}$…①
解得 r=30° ②
从某位置P点入射的光线，折射到AB弧面上Q点时，入射角恰等于临界角C，有：$sinC=\frac{1}{n}$…③
代入数据得：C=45°…④
△PQO中∠α=180°-90°-C-r=15°
所以能射出的光线区域对应的圆心角为：β=90°-α-r=45°…⑥
能射出光线的部分占AB面的比例为$\frac{{{{45}°}}}{{{{90}°}}}=\frac{1}{2}$…⑦
答：圆柱AB面上能射出光线的部分占AB表面的$\frac{1}{2}$．

点评 正确地画出光路图是解决本题问题的关键，是折射定律和几何知识的结合应用．