Question

竖直平面内有一光滑圆弧形轨道，O为最低点，A、B两点距O点的高度分别为h和4h，现从A点释放一质量为M的大物体，且每隔适当的时间从B点释放一质量为m的小物体，它们和大物体碰撞后都结为一体，已知M=100m.

（1）若每当大物体向右运动到O点时，都有一个小物体与之碰撞，问碰撞多少次后大物体的速度最小？

（2）若大物体第一次向右运动到O点时，和小物体碰撞，以后每当大物体向左运动到O点时，才与一个小物体碰撞，问共碰撞多少次后大物体能超过A点？

（3）若每当大物体运动到O点时，都有一个小物体与之碰撞，问碰撞50次后，大物体运动的最大高度为h的几分之几？

Answer 1

（1）A、B在O点速度大小分别为v_a、v_b

由机械能守恒定律：Mgh=Mv_A²  mg·4h=mv_B²

v_A=  v_B=2(2分)

设碰撞n次后速度最小

Mv_A-nmv_B=(M+nm)v_min                                                  

得Mv_A=nmv_B时速率最小  n=50次.                                      

（2）第一次碰：Mv_A-mv_B=(M+m)v                                       

设再碰k次：（M+m）v+kmv_B=(M+m+km)v_A                               

联立解得k=3                                                            

故共碰4次.                                                             

（3）第1次碰：Mv_A-mv_B=(M+m)v₁

第2次碰：（M+m）v₁+mv_B=(M+2m)v₂

第3次碰：（M+2m）v₂-mv_B=(M+3m)v₃

第4次碰：（M+3m）v₃+mv_B=(M+4m)v₄

……

第50次碰：（M+49m）v₄₉+mv_B=(M+50m)v₅₀                                 

联立得Mv_A=（M+50m）v₅₀                                               

v₅₀=v_A                                                               

则h′=h.