Question

16．如图所示，高为L的斜轨道AB，CD与水平面的夹角均为45°，它们分别与竖直平面内的圆弧形光滑孰道相切于B，D两点，圆弧的半径也为L．质量为m的小滑块从A点由静止滑下后，经CD轨道返回，再次冲上AB轨道至速度为零时，相对于BD面的高度为$\frac{L}{5}$．已知滑块与AB轨道间的动摩擦因数为μ₁=0.5，重力加速度为g，求：
（1）滑块第一次经过圆轨道最低点时对轨道的压力F；
（2）滑块与CD面间的动摩擦因数μ₂；
（3）经过足够长时间，滑块在两斜面上滑动的路程之和s．

Answer 1

分析 （1）对第一次滑到最低点的过程运用动能定理，求出最低点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出滑块对最低点的压力大小．
（2）分别求出第一次到达D点和第二次到达D点的动能，通过在CD上运动损失的机械能求出动摩擦因数的大小．
（3）滑块在AB上从静止滑下到再次滑上AB并静止，其高度变为开始时的$\frac{1}{5}$，根据通项公式得出在AB上运动的路程，根据在BD间滑动损失的机械能，结合功能关系求出在CD上滑行的总路程，从而得出滑块在两斜面上滑动的路程之和

解答 解：（1）对第一次滑动最低点的过程中运用动能定理得：
$mg（L+L-Lsin45°）-μmgcos45°•\sqrt{2}L=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
在最低点，根据牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，
联立两式解得：F=（4-$\sqrt{2}$）mg．
则第一次经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力为（4-$\sqrt{2}$）mg．
（2）滑块第一次经过D时的动能为：${E}_{K1}=mgL-{f}_{1}•\sqrt{2}L=0.5mgL$，
第二次经过D时的动能为：${E}_{K2}=mg\frac{L}{5}+{f}_{1}•\sqrt{2}\frac{L}{5}=0.3mgL$，
设滑块在CD上的摩擦力为f₂，f₂=μ₂mgcos45°，
第一次在CD上为零时离BD面的高度为h，
由功能关系得，
${E}_{K1}=mgh+{f}_{2}\sqrt{2}h=mgh+{μ}_{2}mgh$
${E}_{K1}-{E}_{K2}=2{f}_{2}×\sqrt{2}h=2{μ}_{2}mgh$，
代入数据解得：μ₂=0.25．
（3）设滑块在AB、CD上滑动的总路程分别为s₁、s₂，由题设条件可知，滑块在AB上从静止滑下到再次滑上AB并静止，其高度变为开始时的$\frac{1}{5}$，则有：
${s}_{1}=\sqrt{2}（L+2（\frac{L}{5}+\frac{L}{{5}^{2}}+…））$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$L，
经过很长时间，滑块将保持在BD间滑动，损失的机械能为：
mgL=μ₁mgcos45°•s₁+μ₂mgcos45°•s₂，
解得：${s}_{2}=\sqrt{2}L$．
所以：$s={s}_{1}+{s}_{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}L$．
答：（1）滑块第一次经过圆轨道最低点时对轨道的压力F为（4-$\sqrt{2}$）mg．
（2）滑块与CD面间的动摩擦因数为0.25；
（3）经过足够长时间，滑块在两斜面上滑动的路程之和为$\frac{5\sqrt{2}}{2}L$．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律、功能关系的运用，对于（1）（2）两问难度不是太大，关键选择好研究的过程，选择合适的功能关系进行求解，第三问对数学能力的要求较高，是本题的压轴部分，需加强这方面的训练．