Question

4．工厂里有一种运货的过程可以简化为如图所示，货物以v₀=10m/s的初速度滑上静止的货车的左端，已知货物质量m=20kg，货车质量M=30kg，货车高h=0.8m．在光滑轨道OB上的A点设置一固定的障碍物，当货车撞到障碍物时会被粘住不动，而货物就被抛出，恰好会沿BC方向落在B点．已知货车上表面的动摩擦因数μ=0.5，货物可简化为质点，斜面的倾角为53°（sin53°=0.8，cos53°=0.6，g=10m/s²）．
（1）求货物从A点到B点的时间；
（2）求AB之间的水平距离；
（3）若已知OA段距离足够长，导致货物在碰到A之前已经与货车达到共同速度，则货车的长度是多少？

Answer 1

分析 （1）根据货物做平抛运动由竖直方向下落高度求得运动时间；
（2）根据货物在B点的速度方向由平抛运动知识求得平抛的初速度，再根据运动时间求出水平位移；
（3）根据能量守恒分别求得货物在车上减速运动至共速时相对车的位移再求得车停止后货物运动的到离开车时的位移，两者之和则为车长．

解答 解：（1）货物从小车上滑出之后做平抛运动，竖直方向：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$
（2）在B点分解速度：v_y=gt=10×0.4m/s=4m/s
tan$53°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
得：${v}_{x}={v}_{y}tan53°=4×\frac{3}{4}m/s=3m/s$
故s_AB=v_xt=3×0.4m=1.2m
（3）在小车碰撞到障碍物前，车与货物已经到达共同速度，根据牛顿第二定律：
对m：μmg=ma₁
解得${a}_{1}=μg=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$
对M：μmg=Ma₂
解得${a}_{2}=\frac{μmg}{M}=\frac{0.5×20×10}{30}m/{s}^{2}=\frac{10}{3}m/{s}^{2}$
当m、M具有共同速度时有：
v₀-a₁t=a₂t
代入数据解得：t=1.2s
所以共同速度${v}_{共}={a}_{2}t=\frac{10}{3}×1.2m/s=4m/s$
根据系统能量守恒定律：$Q=μmg{s}_{相对}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}_{共}^{2}$
联立解得${s}_{相对}=\frac{\frac{1}{2}×20×1{0}^{2}-\frac{1}{2}×（20+30）×{4}^{2}}{0.5×20×10}m$=6m
当小车被粘住之后，物块继续在小车上滑行，直到滑出，根据动能定理：
$-μmgs′=\frac{1}{2}m{v}_{x}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{共}^{2}$
解得m继续滑行的距离$s′=\frac{\frac{1}{2}×20×{4}^{2}-\frac{1}{2}×20×{3}^{2}}{0.5×20×10}m=0.7m$
所以货车的长度L=s_相对+s′=6+0.7m=6.7m
答：（1）货物从A点到B点的时间为0.4s；
（2）AB之间的水平距离为1.2m；
（3）若已知OA段距离足够长，导致货物在碰到A之前已经与货车达到共同速度，则货车的长度是6.7m．

点评 本题前两问是多物体多过程的力学问题，把复杂的过程分解成几个分过程是基本思路，然后根据运动学公式和功能关系列式求解．