Question

2．如图所示，足够长平行金属导轨内有垂直纸面向里的匀强磁场，金属杆ab与导轨垂直且接触良好，导轨右端通过电阻与平行金属板AB连接．已知导轨相距为L：磁场磁感应强度为B；R₁、R₂和ab杆的电阻值均为r，其余电阻不计；平行金属板AB间距为d、板长为4d、重力加速度为g，不计空气阻力．质量为m、带电量为+q的微粒以v₀沿两板中心线水平射入，如果ab杆以某一速度向左匀速运动时，微粒恰能沿两板中心线射出；如果ab杆以同样大小的速度向右匀速运动时，该微粒将射到B板距左端为d的C处，如果以v₀沿中心线射入的上述微粒能够从两板间射出，则ab杆向左匀速运动的速度可能为（　　） 

• A． $\frac{2mgd}{qBL}$
• B． $\frac{21mgd}{8qBL}$
• C． $\frac{3mgd}{qBL}$
• D． $\frac{27mgd}{8qBL}$

Answer 1

分析 ab杆向左匀速运动时，电场力与重力方向相反，粒子做类平抛运动，要想使粒子射出电场水平位移应为L，同时竖直位移应该不小于$\frac{d}{2}$，棒速度较小则向下偏，较大则向上偏，讨论速度的范围

解答 解：带电量为+q的微粒恰能沿两板中心线射出，此时电场力与重力平衡，设场强为E，则：
mg=Eq…①
ab杆以同样大小的速度向右匀速运动时，平行板间带电粒子所受合力方向向下，大小为；
F=Eq+mg=2mg…②
粒子做类平抛运动，可知加速度为：
a=2g…③
打到板的时间为t，则：$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$…④
d=v₀t…⑤
联立解得：v₀=$\sqrt{2gd}$…⑥
ab杆向左匀速运动时，电场力与重力方向相反，棒速度较小则向下偏，较大则向上偏，粒子做类平抛运动，若粒子恰好射出电场，在水平位移应为L=4d时间内，同时竖直位移恰为$\frac{d}{2}$，
故粒子运动时间为：4d=v₀t₁…⑦
若向下偏，最小加速度大小为a₁，则竖直方向位移为：$\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=\frac{d}{2}$…⑧
联立④⑤⑦⑧得：${a}_{1}=\frac{g}{8}$，
设此时导体棒速度最小为v_min，应有：a₁=$\frac{mg-\frac{\frac{BL{v}_{min}}{3}}{d}q}{m}=g-\frac{BL{v}_{min}q}{3md}$，
解得：v_min=$\frac{21mgd}{8qBL}$，
若导体棒速度最大为v_max，此时粒子向上偏转，应有：${a}_{1}′={a}_{1}=\frac{\frac{\frac{BL{v}_{max}}{3}}{d}q-mg}{m}$=$\frac{BL{v}_{max}q}{3md}-g$，
解得：v_max=$\frac{27mgd}{8qBL}$．故BCD正确，A错误．
故选：BCD．

点评 本题考查电磁感应问题结合闭合电路欧姆定律，涉及带电粒子在匀强电场中的类平抛运动，运算量较大，有一定难度．