Question

14．宇宙中两颗相距较近的天体称之为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起、双星的质量A为m₁，B为m₂，两者相距为L，运动情景如图所示．（已知万有引力常量为G）求：
（1）双星的角速度．
（2）行星A所受B的引力F可等效为位于O点处质量为M的星体（可视为质点）对它的引力．试求M（用m₁、m₂表示）

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，根据万有引力提供向心力求出角速度的大小和每个转动半径；
根据万有引力充当向心力求中心体质量．

解答 解：（1）由万有引力定律和向心力公式：$\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁ω²r₁=m${\;}_{2}{ω}^{2}{r}_{2}$
r₁+r₂=L
联立解得ω=$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}}$．r₁=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$
（2）行星A所受B的引力F可等效为位于O点处质量为M的星体，
则G$\frac{M{m}_{1}}{{r}_{1}^{2}}$=m${\;}_{1}{ω}^{2}{r}_{1}$
即M=$\frac{{ω}^{2}{r}_{1}^{3}}{G}$=（$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}}$）²•（$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$）³$\frac{1}{G}$=$\frac{{m}_{2}^{3}{L}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$．
答：（1）双星的角速度为$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}}$．
（2）行星A所受B的引力F可等效为位于O点处质量为M的星体（可视为质点）对它的引力M=$\frac{{m}_{2}^{3}{L}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握双星模型系统，知道它们靠相互间的万有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．