Question

3．如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过△t时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角．现将带电粒子的速度变为$\frac{v}{3}$，仍从A点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为△t′，则△t′和圆磁场半径R为（　　）

• A． △t′=$\frac{1}{2}$△t，R=$\frac{\sqrt{3}v△t}{π}$
• B． △t′=2△t，R=$\frac{\sqrt{3}v△t}{π}$
• C． △t′=$\frac{1}{2}$△t，R=$\frac{\sqrt{3}v△t}{2π}$
• D． △t′=2△t，R=$\frac{\sqrt{3}v△t}{2π}$

Answer 1

分析 由于粒子在匀强磁场是做匀速圆周运动，运动的半径：$r=\frac{mv}{qB}$，由几何关系确定R与r之间的关系；运动周期　T=$\frac{2πm}{qB}$，与粒子速度大小无关，可见，要计算粒子在磁场中运动的时间，只要求得它在磁场中运动轨迹对应的圆心角，就可得到所用的时间．

解答 解：设圆形磁场区域的半径是R，
以速度v射入时，半径${r}_{1}=\frac{mv}{qB}$，
根据几何关系可知，$\frac{{r}_{1}}{R}=tan60°=\sqrt{3}$，
所以${r}_{1}=\sqrt{3}R$
运动时间△t=$\frac{θ}{2π}T$=$\frac{1}{6}$T
又：$T=\frac{2π{r}_{1}}{v}=\frac{2\sqrt{3}πR}{v}$
所以：$R=\frac{vT}{2\sqrt{3}π}=\frac{v•6△t}{2\sqrt{3}π}=\frac{\sqrt{3}v△t}{π}$
以速度$\frac{1}{3}$v射入时，半径${r}_{2}=\frac{mv}{3qB}=\frac{\sqrt{3}}{3}R$，
所以${r}_{2}=\frac{1}{3}{r}_{1}$
设第二次射入时的圆心角为θ，根据几何关系可知：
tan$\frac{θ}{2}$=$\frac{R}{{r}_{2}}$
所以θ=120°
则第二次运动的时间为：△t′=$\frac{1}{3}T$=2△t
故选：B．

点评 带电粒子在磁场中运动的题目解题步骤为：定圆心、画轨迹、求半径，同时还利用圆弧的几何关系来帮助解题．