Question

一口圆柱形的井深1.85m，直径2m，井底有一只青蛙．井外水平地面上以井为中心种了一圈树，圈为圆形，直径为18m，其中最高的树高10m，最矮的树高6m，问井中至少要有多深的水，位于井底部的青蛙才有可能看到其中的任意一棵树．已知水的折射率为

4

3

．（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析：由于树越高，越容易看到，只考虑看到最矮的树的情形．作出光路图，运用几何知识，用树高表示水的深度，再结合折射率求解即可．

解答：解：设树高为H，水深为h，树梢在水面上的入射点到井壁的距离为x，作出光路图如图所示．
根据△ABC∽△BOD得：

AC

BD

=

BC

OD

，即

H

1.85-h

=

8

x

得x=

8(1.85-h)

H

由于树越高，越容易看到，只考虑看到最矮的树为6m的情况．
当H=6m时，x=

4(1.85-h)

3

由数学知识得：sin∠1=

OD

BO

=

x

x2+(1.85-h)2

sin∠2=

EF

EO

=

2-x

(2-x)2+h2

又由折射定律得：

sin∠1

sin∠2

=n=

4

3

联立以上各式得：h₁=0.8m，h₂=0.224m
但考虑到树高为6m时，若井中无水时，树梢最多在距井口y深处看到，则
 

BC

H

=

2

y

，即

8

6

=

2

y

解得，y=1.5m，
因为青蛙在水中看树，所以水深最少为1.85-1.5=0.35m，故排除h₂=0.224m，只能取h₁=0.8m．
所以井中至少要有0.8m深的水，位于井底部的青蛙才有可能看到其中的任意一棵树．
答：井中至少要有0.8m深的水，位于井底部的青蛙才有可能看到其中的任意一棵树．

点评：本题是折射定律和几何知识的综合应用，作出光路图，运用几何知识是解题的关键所在．