Question

1．如图所示，一根细线上端固定于某点O，下端系一砂箱静止于A点，砂箱质量M=0.60kg，O点到砂箱中心的距离为L=1.6m．现从左向右用弹簧枪向砂箱水平发射速度v₀=20m/s的弹丸，弹丸质量m=0.20kg．假设砂箱每次摆到最低点时，就恰好有一颗弹丸射入砂箱，并留在其中．取g=10m/s²，不计空气阻力，弹丸与砂箱的相互作用时间极短．弹丸和砂箱在摆动时可看作质点．求：
（1）第一颗弹丸射入砂箱后
a．砂箱获得的速度v₁；
b．通过计算说明，沙箱能否到达图中的B点（OB在水平方向）．
（2）第二颗、第三颗、第四颗…弹丸射入砂箱后，能否实现砂箱做完整的圆周运动？若能，计算出第几颗弹丸射击后可以；若不能，通过计算说明理由．

Answer 1

分析 （1）子弹射入砂箱过程系统动量守恒，应用动量守恒定律求出子弹射入砂箱后的速度，子弹与砂箱一起摆到过程系统机械能守恒，应用机械能守恒定律求出砂箱上升的最大高度，然后判断砂箱能否做完整的圆周运动．
（2）子弹射入砂箱过程系统动量守恒，应用动量守恒定律求出子弹射入砂箱后的速度，然后根据砂箱的速度判断砂箱能否做完整的圆周运动．

解答 解：（1）a、以子弹和砂箱为研究对象，以子弹的初速度方向为正方向，
弹丸射入砂箱的过程系统动量守恒，根据动量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v₁，代入数据解得：v₁=5m/s；
b、设砂箱和弹丸向上摆动的最大高度为h，根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²=（M+m）gh，代入数据解得：h=1.25m，
因为：h＜L=1.6m，所以沙箱不可能到达B点；
（2）子弹射入砂箱过程系统动量守恒，以子弹初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
第二颗子弹射入砂箱的过程：mv₀-（M+m）v₁=（M+2m）v₂，解得：v₂=0，
同理，第三颗子弹射入的过程：mv₀=（M+3m）v₃，解得：v₃=3.33m/s，
…
由以上计算分析得出：当n=2k（k=1、2、3…）颗弹丸射入后，沙箱的速度v_2k=0；
当n=2k-1（k=1、2、3…）颗弹丸射入后，沙箱的速度为：v_2k-1=$\frac{m{v}_{0}}{M+（2k-1）m}$，
此后每次射击后的沙箱速度都比前一次小，沙箱升起的高度也将越来越小． 
因此不论射多少颗弹丸，沙箱都不可能做完整的圆周运动．
答：（1）第一颗弹丸射入砂箱后
a、砂箱获得的速度v₁为5m/s；
b、沙箱不能到达图中的B点．
（2）第二颗、第三颗、第四颗…弹丸射入砂箱后，不能实现砂箱做完整的圆周运动．

点评 本题动量守恒与圆周运动的临界条件、机械能守恒的综合，采用归纳法分析是关键．