Question

如图所示PQ、MN为足够长的两平行金属导轨，它们之间连接一个阻值R=8Ω的电阻；导轨间距为L=1m；一质量为m=0.1kg，电阻r=2Ω，长约1m的均匀金属杆水平放置在导轨上，它与导轨的滑动摩擦因数μ=

3

5

，导轨平面的倾角为θ=30°在垂直导轨平面方向有匀强磁场，磁感应强度为B=0.5T，今让金属杆AB由静止开始下滑，下滑过程中杆AB与导轨一直保持良好接触，杆从静止开始到杆AB恰好匀速运动的过程中经过杆的电量q=lC，求：
（1）当AB下滑速度为2m/s时加速度的大小
（2）AB 下滑的最大速度
（3）从静止开始到AB匀速运动过程R上产生的热量．

Answer 1

分析：（1）对AB杆下滑过程中，受力分析，由牛顿第二定律、安培力公式与闭合电路欧姆定律及摩擦力表达式，列出方程即可求解．
（2）当AB杆加速度减至为零时，速度达到最大，从而根据方程计算，即可求解．
（3）根据法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、电量表达式从而列出面积与电量、电阻及磁场、杆的长度关系，再由能量守恒关系，即可求解．

解答：解：（1）取AB杆为研究对象其受力如图示建立如图所示坐标系F_X=mgsinθ-F_B-f=ma ①
F_B=N-mgcosθ=0 ②
摩擦力f=μN ③
安培力  F_B=BIL ④
I=

E

R+r

⑤
E=BLv ⑥
联立上面①②③④⑤⑥
解得a=gsinθ-μcosθ-

B2L2v

m(R+r)

当v=2m/s时
a=10×

1

2

-

3

5

×10×

3

2

-

0.52×12×2

0.1×(2+8)

=1.5m/s2
（2）由上问可知 a=gsinθ-μcosθ-

B2L2v

m(R+r)

，故AB做加速度减小的加速运动当a=0．
v=vm=

mg(R+r)(sinθ-μcosθ)

B2L2

=

0.1×10×(2+8)( 1 2 - 3 5 × 3 2 )

0．52×12

=8m/s
（3）从静止开始到运速运动过程中

.

E

=

△?

△t

⑦

.

I

=

E

R+r

 ⑧
Q=

.

I

?△t⑨
而△?=BlS
联立⑦⑧⑨可知
∴S=

Q(R+r)

Bl

=

1×(8+2)

0.5×1

=20m
设两电阻发热和为Q_R+Q_r
由能量守恒可知 mgSsinθ=

1

2

m

v

2 m

+μmgc0sθ?S+Q_R+Q_r
解得：Q_R：Q_r=R：r⑩
Q_R+Q_r=Q_R+r
联立 解得QR=

R

R+r

QR+r=

8

8+2

×0.8=0.64J
答：（1）当AB下滑速度为2m/s时加速度的大小1.5m/s²；
（2）AB 下滑的最大速度8m/s；
（3）从静止开始到AB匀速运动过程R上产生的热量0.64J．

点评：本题综合考查了共点力平衡以及能量守恒．关键理清导体棒的运动情况，选择合适的定律进行求解．