Question

14．如图所示，等腰直角三角形ACD的直角边长为2a，P为AC边的中点，Q为CD边上的一点，DQ=a．在△ACD区域内，既有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，又有电场强度大小为E的匀强电场，一带正电的粒子自P点沿平行于AD的直线通过△ACD区域．不计粒子的重力．
（1）求电场强度的方向和粒子进入场区的速度大小v₀；
（2）若仅撤去电场，粒子仍以原速度自P点射入磁场，从Q点射出磁场，求粒子的比荷；
（3）若仅撤去磁场，粒子仍以原速度自P点射入电场，求粒子在△ACD区域中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）根据正电的粒子在电磁场中做直线运动可以，粒子受力平衡，根据电场力等于洛伦兹力求出初速度；
（2）根据洛伦兹力提供向心力公式结合几何关系求解；
（3）粒子沿初速度v₀方向做匀速直线运动，沿电场方向做匀加速直线运动，根据运动学基本公式结合几何关系求解．

解答 解：（1）正粒子在场区受力平衡：qE=qv₀B…①
解得：${v_0}=\frac{E}{B}$
根据正粒子所受电场力的方向与场强的方向相同，可知场强的方向由A指向C．  
（2）过Q点作半径OQ，它与CA的延长线交于圆心O，作QH⊥CA，垂足为H，设正粒子做匀速圆周运动的半径为R，则：$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{R}$…②
在直角三角形HOQ中：HO²+HQ²=R²…③
$HQ=2a-acos4{5}^{°}=（2-\frac{\sqrt{2}}{2}）a$…④
HO=OC-HC=（R+a）-HQ…⑤
联立③④⑤解得：R=3a…⑥
联立①②⑥解得：$\frac{q}{m}=\frac{E}{{3a{B^2}}}$…⑦
（3）粒子沿初速度v₀方向做匀速直线运动：x=v₀t…⑧
粒子沿电场方向做匀加速直线运动：$y=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t^2}$…⑨
由几何关系：x+y=a⑩
由①⑦⑧⑨⑩得：${（\frac{E}{B}）^2}{t^2}+6a（\frac{E}{B}）t-6{a^2}=0$
解得：$t=\frac{{（\sqrt{15}-3）aB}}{E}$
答：（1）求电场强度的方向和粒子进入场区的速度大小为$\frac{E}{B}$；
（2）粒子的比荷为$\frac{E}{3a{B}^{2}}$；
（3）粒子在△ACD区域中运动的时间为$\frac{（\sqrt{15}-3）aB}{E}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，知道若粒子在混合场中做直线运动，则粒子受力平衡，能结合几何关系求解，难度适中．