Question

一轻绳跨过两个等高的轻定滑轮，两端分别挂上质量m₁=4千克和m₂=2千克的物体，如图所示，在滑轮之间的绳上悬挂物体M，为使三个物体能保持平衡．则M的取值范围为

2

3

＜（千克）M＜

6

（千克）

Answer 1

分析：设出物体的质量，根据力的平衡列出等式，式子中变量较多，我们从消元开始解题，由两式变形可以消去θ₂，把要求的变量用含有θ₁的式子表达，根据三角函数的特点，得到结果．

解答：解：设所求物体质量为mkg时，系统保持平衡，再设F₁与竖直方向的夹角为θ₁，F₂与竖直方向的夹角为θ₂，则根据平衡条件，有：

4gsinθ1=2gsinθ2                           ① 4gcosθ 1+2gcosθ2=mg               ②

由①式和②式消去θ₂，得
m²-8mcosθ₁+12=0，
即m=4cosθ₁±2               ③
∵cosθ₂＞0，∴由②式知，mg＞4gcosθ₁，故③式中m=4cosθ₁-2不合题意，舍去．
又由于△=4cos²θ₁-3≥0，解得

3

2

≤cosθ₁≤1．
经检验，当cosθ₁=1时，cosθ₂=0，不合题意，舍去．
∴2

3

＜m＜6．
所求物体的质量在2

3

kg到6kg之间变动时，系统可保持平衡．
故答案为：2

3

，6．

点评：本题也可以采用极值法，绳子的连接点三力平衡，其中重力方向竖直，两个拉力的大小恒定，故要确定拉力合力范围，但要考虑实际情况：①当θ₁与θ₂趋向于零时，m取最大值；②当较小的力趋向水平时，m取最小值．