Question

8．如图所示，半径为R=0.2m，光滑绝缘的$\frac{1}{4}$圆弧轨道固定在光滑水平地面上．轨道末端水平，紧靠轨道末端有一等高的绝缘平板小车，小车表面水平，车长L=1m，质量为2M，车子右端与竖直绝缘挡板的距离为s=1.0m．轨道末端右侧空间存在水平向右、大小为E=$\frac{3μMg}{q}$的匀强电场．质量为M=1kg、不带电的滑块B静止在小车的左端．质量也为M、带电荷量为q的滑块A（A、B均可看作质点，图中A未画出），从轨道上的某一点由静止释放，通过轨道末端N点时对轨道的压力为A重力的3倍，与滑块B碰撞后粘合在一起，碰撞过程中无电荷量损失．A、B滑块与平板车间的动摩擦因数为μ=0.2，车与挡板碰后立即被锁定．A、B粘合后与挡板碰撞过程中无能量损失，且不计电荷量损失．（g=10m/s²）求：
（1）滑块A释放时距离N点的高度；
（2）车与挡板相碰前摩擦产生的热量；
（3）车与挡板碰撞后，A、B滑块经过的路程．

Answer 1

分析 （1）对A，由牛顿第二定律与机械能守恒定律可以求出高度．
（2）A、B碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律求出滑块的速度，然后应用牛顿第二定律与运动学公式求出位移，最后由功是计算公式求出产生的热量．
（3）应用能量守恒定律可以求出滑块的路程．

解答 解：（1）设滑块A到达N点时速度为v₁，
根据牛顿第二定律得：3Mg-Mg=M$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$   ①
从开始释放到运动到N点，
根据机械能守恒定律得：Mgh=$\frac{1}{2}$Mv₁²  ②
联立①②式得，h=R=0.2m；
（2）A、B在N点的碰撞过程满足动量守恒定律，设碰后AB速度为v₂，
以A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：Mv₁=2Mv₂ ③
小车与挡板碰撞前，AB加速度为：a₁=$\frac{qE-2μMg}{2M}$=1 m/s² ④
小车的加速度为a₂=μg=2 m/s² ⑤
设小车从开始运动经历时间t与AB速度相等，有：v₂+a₁t=a₂t ⑥
联立得t=1 s，此时速度为v=2 m/s，
1s时间内小车的位移为：s₁=$\frac{1}{2}$a₂t²=1m  ⑦
滑块的位移为：s₂=v₂t+$\frac{1}{2}$a₁t²=1.5m  ⑧
滑块相对于小车的位移：△s=s₂-s₁=0.5m  ⑨
此时滑块距挡板s′=0.5 m，故产生热量为：Q=2μMg△s=2J  ⑩
（3）设滑块第一次碰撞后能滑至小车左端，且设挡板处的电势能为零，
则第一次AB与挡板碰撞后的动能：E_k=$\frac{1}{2}$（2M）v²+Eqs′-2μMgs′⑪
滑块从挡板滑至左端需要的最小能量E_min=2μMgL+EqL⑫
解得：E_k＜E_min ⑬故滑块不会从左端滑出，
由能量守恒得：$\frac{1}{2}$（2M）v²+Eqs′=2μMgs_路+Eq（s_路-s′）⑭
代入数据解得：s_路=1 m．
答：（1）滑块A释放时距离N点的高度为0.2m；
（2）车与挡板相碰前摩擦产生的热量为2J；
（3）车与挡板碰撞后，A、B滑块经过的路程为1m．

点评 本题是一道力学综合题，考查了动能定理、牛顿第二定律、运动学公式、动量守恒定律的应用，分析清楚物体运动过程，应用机械能守恒定律、牛顿第二定律、运动学公式、动量守恒定律、能量守恒定律可以解题．