Question

如图甲所示，水平地面上有一辆小车，小车上固定有竖直光滑绝缘管，管长为L，管内底部有一质量m=0.2g，电荷量q=+8×10^-5C的小球，小球的直径比管的内径略小．在管口所在水平面MN的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度B₁=15T的匀强磁场，MN面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度B₂=15T的匀强磁场，MN上下的整个区域还存在着竖直向上、场强E=25V/m的匀强电场．现让小车始终保持v=2m/s的速度匀速向右运动，以带电小球刚经过场的边界PQ为计时的起点，测得小球对管侧壁的弹力F_N随小球到管底的高度h的变化关系如图乙所示．g取10m/s²，不计空气阻力．求：
（1）小球刚进入磁场B₁时的加速度大小a；
（2）绝缘管的长度L；
（3）小球离开管后每次经过水平面MN时小球距管口的距离△x．

Answer 1

（1）小球在管内运动时，以小球为研究对象，小球受到竖直向下的重力、竖直向上的电场力和大小恒定、方向竖直向上的洛伦兹力，设加速度为a，由牛顿第二定律有：
qB₁v+qE-mg=ma
则：a=

qB1v+Eq-mg

m

=12m/s2；
（2）小球在管中竖直方向做匀加速直线运动，在小球运动到管口时，F_N=2.4×10^-3N，设v₁为小球竖直分速度，水平方向有：
F_N-qv₁B₁=0
解得：v1=

FN

qB1

=2m/s
竖直方向有：v₁²=2aL
解得：L=

v 21

2a

=

1

6

m
（3）小球离开管口进入复合场，小球受到竖直向下的重力、竖直向上的电场力和方向随时发生变化的洛伦兹力，
其中：
qE=8×10^-5×25=2×10^-3N
mg=0.2×10^-3×10=2×10^-3N
有qE=mg，故电场力与重力平衡，小球在复合场中做匀速圆周运动，合速度v'与MN成45°角，轨道半径为R，（如图）qvB2=

mv′2

R

R=

mv′

qB2

=

2

3

m
小球离开管口开始计时，到再次经过MN所通过的水平距离
x1=2Rsin45°=

2

R=

2

3

m
T=

2πR

v′

=

2πm

qB2

对应的时间有：
t=

1

4

T=

πm

2qB2

=

π

12

s
设小车运动的距离为x₂
x2=vt=2×

π

12

=

π

6

s
若小球再经过MN时，有：
△x=n（x₁-x₂）
解得：△x=

n

3

(2-

π

2

)m    n=1、2、3、…
答：（1）小球刚进入磁场B₁时的加速度大小为12m/s²
    （2）绝缘管的长度为

1

6

m
    （3）小球离开管后每次经过水平面MN时小球距管口的距离为△x=

n

3

(2-

π

2

)m    n=1、2、3、…