Question

（2012?东城区一模）如图所示，绝缘细绳绕过轻滑轮连接着质量为m的正方形导线框和质量为M的物块，导线框的边长为L、电阻为R．物块放在光滑水平面上，线框平面竖直且ab边水平，其下方存在两个匀强磁场区域，磁感应强度的大小均为B，方向水平但相反，Ⅰ区域的高度为L，Ⅱ区域的高度为2L． 开始时，线框ab边距磁场上边界PP′的高度也为L，各段绳都处于伸直状态，把它们由静止释放，运动中线框平面始终与磁场方向垂直，M始终在水平面上运动，当ab边刚穿过两磁场的分界线QQ′进入磁场Ⅱ时，线框做匀速运动，不计滑轮处的摩擦．求：
（1）ab边刚进入磁场Ⅰ时，线框的速度大小；
（2）cd边从PP′位置运动到QQ′位置过程中，通过线圈导线某横截面的电荷量；
（3）ab边从PP′位置运动到NN′位置过程中，线圈中产生的焦耳热．

Answer 1

分析：（1）对线框和物块组成的整体，由机械能守恒定律求解．
（2）q根据q=

△Φ

R

求解．
（3）根据平衡等式和能量转化与守恒定律求解线圈中产生的焦耳热．

解答：解：（1）对线框和物块组成的整体，由机械能守恒定律
mgL=

1

2

（m+M）v₁²
v₁=

2mgL m+M

（2）线框从Ⅰ区进入Ⅱ区过程中，
△Φ=Φ₂-Φ₁=2BL²   
E=

△Φ

△t

I=

E

R

通过线圈导线某截面的电量：q=I△t=

2BL2

R

（3）线框ab边运动到位置NN′之前，线框只有ab边从PP′位置下降2L的过程中才有感应电流，设线框ab边刚进入Ⅱ区域做匀速运动的速度是v₂，线圈中电流为I₂，
I₂=

E

R

=

2BLv2

R

此时M、m均做匀速运动，2BI₂L=mg    
v₂=

mgR

4B2L2

根据能量转化与守恒定律，mg?3L=

1

2

（m+M）v₂²+Q
则线圈中产生的焦耳热为：Q=3mgL-

(M+m)m2g2R2

32B4L4

答：（1）ab边刚进入磁场Ⅰ时，线框的速度大小是

2mgL m+M

．
（2）cd边从PP′位置运动到QQ′位置过程中，通过线圈导线某横截面的电荷量是

2BL2

R

．
（3）ab边从PP′位置运动到NN′位置过程中，线圈中产生的焦耳热是3mgL-

(M+m)m2g2R2

32B4L4

．

点评：本题是电磁感应中的力学问题，考查电磁感应、机械能守恒定律、平衡条件等知识综合应用和分析能力．