题目内容

17.如图所示,BDC是竖直平面内半径为R的半圆形轨道,质量为m的小球,在水平外力作用下,由静止开始从水平轨道的A点出发做匀加速直线运动,到达B点时撤消外力(此时地面对小球的支持力为重力的7倍).小球冲上轨道,恰能维持在轨道上做圆周运动,到达最高点C后抛出,最后落回到原来的出发点A处,(小球可看做质点,重力加速度为g)试求:
(1)小球从C点落回A点的过程中的重力的平均功率;
(2)小球在AB段运动的加速度.

分析 (1)根据下降的高度求出平抛的时间和重力做功的大小,结合平均功率的公式求出小球从C点落回A点的过程中的重力的平均功率;
(2)根据牛顿第二定律求出C点的速度,结合平抛运动的时间求出AB的距离,根据牛顿第二定律求出B点的速度,结合速度位移公式求出小球在AB段的加速度大小.

解答 解:(1)小球恰能通过最高点,根据mg=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$得,${v}_{C}=\sqrt{gR}$.
小球从C点落回A点的过程中,重力做功W=2mgR,
根据2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得,运动的时间t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$,
则重力做功的平均功率$\overline{P}=\frac{W}{t}=\frac{2mgR}{\sqrt{\frac{4R}{g}}}$=$mg\sqrt{gR}$.
(2)AB段的位移x=${v}_{C}t=\sqrt{gR}\sqrt{\frac{4R}{g}}=2R$,
在B点,根据牛顿第二定律得,$N-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$,N=7mg,
解得${v}_{B}=\sqrt{6gR}$.
根据速度位移公式得,小球在AB段的加速度a=$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2x}=\frac{6gR}{4R}=1.5g$.
答:(1)小球从C点落回A点的过程中的重力的平均功率为$mg\sqrt{gR}$;
(2)小球在AB段运动的加速度为1.5g.

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合运用,知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键.

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