Question

7．若取地球的第一宇宙速度为8km/s，地球表面重力加速度为10m/s²．已知某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球的1.5倍，求：
（1）这个行星的表面重力加速度
（2）这个行星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 由重力加速度的表达式及行星与地球的质量之比，半径之比，即可求得重力加速度．由第一宇宙速度表达式及行星与地球的质量之比、半径之比求得第一宇宙速度．

解答 解：第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，
由牛顿第二定律得：G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
某行星上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比：$\frac{{v}_{行}}{{v}_{地}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{行}{R}_{地}}{{M}_{地}{R}_{行}}}$=$\sqrt{\frac{6{M}_{地}}{{M}_{地}}×\frac{{R}_{地}}{1.5{R}_{地}}}$=2，
所以这行星的第一宇宙速度：v_行=2v_地=2×8=16km/s．
在表面由重力等于万有引力，即：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，解得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
星球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比：$\frac{{g}_{行}}{{g}_{地}}$=$\frac{\frac{{M}_{行}}{{R}_{行}^{2}}}{\frac{{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}}$=$\frac{6}{1．{5}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，
行星的重力加速度：g_行=$\frac{8}{3}$g_地=$\frac{8}{3}$×10=$\frac{80}{3}$m/s²；
答：（1）这个行星的表面重力加速度$\frac{80}{3}$m/s²；
（2）这个行星的第一宇宙速度16km/s．

点评 本题关键是根据第一宇宙速度的表达式列式求解，其中第一宇宙速度为贴近星球表面飞行的卫星的环绕速度！
求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．