Question

（2008?蓟县二模）如图所示，在xoy平面直角坐标系的第二象限内有匀强磁场B₁=5×10^-3T，方向垂直xoy平面，在第一象限y＜4m区域内有匀强磁场B₂=0.01T 和匀强电场E，B₂的方向垂直xoy平面向外，E的方向平行y轴（图中未画出）．一负离子从x轴上P点以速度v₀射入B₁磁场，v₀的方向在xoy平面内并与x轴正向夹角为120°，负离子经过y轴上的A点后做匀速直线运动，A点坐标为y=3m，已知负离子的电量为3.2×10^-19C，质量为5.32×10^-26kg．求：
（1）B₁的方向；
（2）E的大小和方向：
（3）如果保持负离子从P点进入磁场的速度方向不变，而速度的大小增大为v，欲使负离子经过y轴后做匀速直线运动，则v应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）负离子进入磁场B₁中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，离子从P点进入磁场B₁后应向右偏转，洛伦兹力向右，根据左手定则判断B₁的方向；
（2）负离子经过y轴上的A点后做匀速直线运动，洛伦兹力与电场力平衡，由平衡条件列式，得到E与速度v₀的关系式．负离子从P点开始做匀速圆周运动，由几何关系求得轨迹半径，由牛顿第二定律列式求得速度v₀，即可求出E．
（3）若增大负离子的速度，并且使负离子经过y轴后做匀速直线运动，负离子经过y轴的位置坐标y≥4m，负离子过y轴后将不再进入电磁场区域．当离子从P点进入时恰好从y轴上y=4m的D点通过y轴时，由余弦定理得求出轨迹半径，再由牛顿第二定律求速度v，即可得到v满足的条件．

解答：解：
（1）因为负离子将经过y轴上的A点，所以它从P点进入磁场B₁后应向右偏转，由左手定则可得B₁方向垂直xoy平面向里．（2）负离子经过y轴上的A点后做匀速直线运动，由此可知负离子所受电场力和洛仑兹力为一对平衡力．因为E的方向平行y轴，所以洛仑兹力的方向也应平行y轴，负离子运动方向垂直y轴，分析可知洛仑兹力的方向平行y轴向上，电场力方向平行y轴向下，所以E的方向为平行y轴向上．
  qv₀B₂=Eq
负离子从P点开始做匀速圆周运动，如图所示，
C点为圆心，CA、CP为半径R₁，∠CPO=30°，
  OA=R₁+R₁sin∠CPO
  R₁=2m
  qv₀B₁=

m v 2 0

R1

  v₀=6×10⁴m/s
  E=600N/C
（3）若增大负离子的速度，并且使负离子经过y轴后做匀速直线运动，则负离子经过y轴的位置坐标应为y≥4m，即负离子过y轴后不再进入电磁场区域．
设负离子以速度v₁从P点进入时恰好从y轴上y=4m的D点通过y轴，负离子在磁场B₁中做圆周运动的圆心为Q，半径为R₂，如图所示．
在△QCD中，DQ=R₂，CQ=R₂-R₁，CD=OD-R₁sin30°，∠DCQ=60°
由余弦定理得  DQ²=CQ²+CD²-2CQ×CDcos∠DCQ
R₂²=（R₂-R₁）²+（4-R₁sin30°）²-2（R₂-R₁）×（4-R₁sin30°）cos60°
解得 R₂=

19

7

m
 qv₁B₁=

m v 2 1

R2

    
 v₁=8.14×1m/s
欲使负离子经过y轴后做匀速直线运动，则v应大于或等于8.14×10⁴m/s．
答：
（1）由左手定则可得B₁方向垂直xoy平面向里．
（2）E的大小为600N/C，E的方向为平行y轴向上．
（3）欲使负离子经过y轴后做匀速直线运动，则v应大于或等于8.14×10⁴m/s．

点评：本题是带电粒子在复合场中运动的问题，画出轨迹、结合数学知识求轨迹半径是研究粒子在磁场中圆周运动常用的方法．