Question

地球A和某一行星B的半径之比为R₁：R₂=1：2，平均密度之比为ρ₁：ρ₂=4：1若地球表面的重力加速度为10m/s²，则：
①B行星表面的重力加速度是多少？
②若在地球表面以某一初速度竖直上抛的物体最高可达20m，那么在B行星表面以同样的初速度竖直上抛一物体，经多少时间该物体可落回原地？（空气阻力不计）

Answer 1

分析：根据重力近似等于万有引力，可计算星球的质量，根据质量等于密度乘以体积，可以计算出星球的表面重力加速度与密度和星球半径的关系，再利用比值法可计算出星球B的重力加速度．
根据匀变速运动的公式，先计算出在B星球上升到最大高度所用的时间，再根据对称性，求总时间．

解答：解：（1）根据星球表面的物体受到的重力等于万有引力G

Mm

R2

=mg，得M=

R2g

G

又因为M=ρ?

4

3

πR3，所以

R2g

G

=ρ?

4

3

πR3
所以g=

4

3

πGρR
所以

gA

gB

=

ρ1

ρ2

?

R1

R2

=

4

1

×

1

2

=2
故gB=

1

2

gA=

1

2

×10m/s2=5m/s2
（2）根据匀变速运动的规律v02=2gAhA=(gBtB)2
所以在B行星表面以同样的初速度竖直上抛一物体上升到最高点用时tB=

2gAhA

gB

=

2×10×20

5

s=4s
根据运动的对称性该物体从抛出到落回原地的总时间t=2t_B=2×4s=8s．
答：①B行星表面的重力加速度是5m/s²．
②若在地球表面以某一初速度竖直上抛的物体最高可达20m，那么在B行星表面以同样的初速度竖直上抛一物体，经8s该物体可落回原地．

点评：本题根据重力等于万有引力推导出的表达式GM=R²g，常常称为黄金代换式，是卫星问题经常用到的表达式．