Question

（2013?商丘二模）如图所示，K是粒子发生器，D₁、D₂、D₃是三块挡板，通过自动控制装置可以控制它们定时开启和关闭，D₁、D₂的间距为L，D₂、D₃的间距为

L

2

．在以O为原点的直角坐标系Oxy中有一磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，y轴和直线MN是它的左、右边界，且MN平行于y轴．现开启挡板D₁、D₃，粒子发生器仅在t=O时刻沿x轴正方向发射各种速率的粒子，D₂仅在t=nT（n=0、1、2…，T为一定值）时刻开启，在t=5T时刻，再关闭挡板D₃，使粒子无法进入磁场区域．已知挡板的厚度不计，粒子质量为m、电荷量为+q（q大于0 ），不计粒子的重力，不计粒子间的相互作用，整个装置都放在真空中．
（1）求能够进入磁场区域的粒子速度大小．
（2）已知从原点O进入磁场中速度最小的粒子经过坐标为（0cm，2cm）的P点，应将磁场的右边界MN在Oxy平面内如何平移，才能使从原点O进入磁场中速度最大的粒子经过坐标为（3

3

cm，6cm）的Q点？

Answer 1

分析：（1）粒子必须在D₃关闭前进入磁场才行，粒子由D₁到D₂和由D₂到D₃都是匀速直线运动，可得运动时间表达式，两段时间之和应小于等于5T，可解得能够进入磁场区域的粒子的速度．
（2）由进入磁场中速度最小的粒子经过坐标为（0cm，2cm）的P点可确定其轨道半径，进而确定最小速度；由（1）得到的速度表达式，可得最大速度，由速度关系可确定速度最大粒子的半径，做出运动轨迹图，由几何关系来判定该如何移动磁场的右边界MN．

解答：解：
（1）设能够进入磁场区域的粒子速度大小为v_n，由题意，粒子由D₁到D₂经历的时间为：
△t₁=

L

vn

=nT（n=1、2…），
粒子由D₂到D₃经历的时间为：
△t₂=

L

2vn

=

nT

2

，
t=5T时刻，挡板D₃关闭，粒子无法进入磁场，故有：
△t=△t₁+△t₂≤5T，
联立以上三式解得：
n=1、2、3．
所以，能够进入磁场区域的粒子的速度为：
vn=

L

nT

（ n=1、2、3）．
（2）进入磁场中速度最小的粒子能经过P点，可知此时半径最小为R=1cm．而：
qvB=

mv2

R

，
所以，粒子做圆周运动的半径：
R=

mv

qB

．
由前可知，进入磁场粒子的最大速度为最小速度的3倍，故：
R'=3R=3cm，
其圆心坐标E（0，3m），如图所示，粒子应从F点沿切线方向离开磁场到达Q点．

设∠GQE=θ，则：
tanθ=

3

3 3

=

3

3

，θ=30°，
由几何知识可知，∠HFE=θ=30°，
所以：
HF=R'cos30°=

3 3

2

cm．                    
因此，只要将磁场边界的MN平移到F点，速度最大的粒子在F点穿出磁场，将沿圆轨迹的切线方向到达Q点．       
答：（1）能够进入磁场区域的粒子速度大小为：vn=

L

nT

（ n=1、2、3）．
（2）已知从原点O进入磁场中速度最小的粒子经过坐标为（0cm，2cm）的P点，将磁场边界的MN平移到F点，才能使从原点O进入磁场中速度最大的粒子经过坐标为（3

3

cm，6cm）的Q点．

点评：该题的关键点在于做速度最大粒子的轨迹图，带点粒子在磁场中运动，在混合场中的运动等问题，最重要的就是做运动轨迹图，做这种图首先要能确定半径，其次要确定初末速度的方向．