Question

如图甲所示，静电除尘装置中有一长为L、宽为b、高为d的矩形通道，其前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用金属材料。图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定的高压直流电源相连。质量为m、电荷量为-q、分布均匀的尘埃以水平速度v₀进入矩形通道，当带负电的尘埃碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集。通过调整两板间距d可以改变收集效率。当d=d₀时为81%（即离下板0.81d₀范围内的尘埃能够被收集）。

不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用。

（1）求收集效率为100%时，两板间距的最大值为；

（2）求收集率与两板间距的函数关系；

（3）若单位体积内的尘埃数为n，求稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量与两板间距d的函数关系，并绘出图线。

Answer 1

答案：（1）（2）当时，收集效率为100%；当时，收集率（3）=，如图所示。

解析：（1）收集效率为81%，即离下板0.81d₀的尘埃恰好到达下板的右端边缘，设高压电源的电压为，在水平方向有                                     ①

在竖直方向有                                                   ②

其中                                                      ③

当减少两板间距是，能够增大电场强度，提高装置对尘埃的收集效率。收集效率恰好为100%时，两板间距为。如果进一步减少，收集效率仍为100%。

因此，在水平方向有                                                    ④

在竖直方向有                                                      ⑤

其中                                                    ⑥

联立①②③④⑤⑥可得                                             ⑦

（2）通过前面的求解可知，当时，收集效率为100%                   ⑧

当时，设距下板处的尘埃恰好到达下板的右端边缘，此时有

                                                             ⑨

根据题意，收集效率为                                                  ⑩

联立①②③⑨⑩可得

（3）稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量=

当时，，因此=

当时，，因此=

绘出的图线如下