题目内容
如图甲所示，静电除尘装置中有一长为L、宽为b、高为d的矩形通道，其前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用金属材料．图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定的高压直流电源相连．质量为m、电荷量为-q、分布均匀的尘埃以水平速度v0进入矩形通道，当带负电的尘埃碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集．通过调整两板间距d可以改变收集效率η．当d=d0时η为81%（即离下板0.81d0范围内的尘埃能够被收集）．不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用．
（1）求收集效率为100%时，两板间距的最大值dm；
（2）求收集率η与两板间距d的函数关系；
（3）若单位体积内的尘埃数为n，求稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量
与两板间距d的函数关系，并绘出图线．
（1）求收集效率为100%时，两板间距的最大值dm；
（2）求收集率η与两板间距d的函数关系；
（3）若单位体积内的尘埃数为n，求稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量
| △M | △t |
分析：（1）首先根据类平抛运动分析方法：水平方向匀速和竖直方向匀加速具有等时性，即粒子在电场中运动的时间不超过t=
，所以得出临界问题的临界条件；再由竖直方向匀加速直线运动的规律求解相关问题即可．
（2）结合第一问中的临界条件，得出恰好经过下板右边缘的离子的竖直位移表达式，再由收集效率的表达式η=
，可得收集率η与两板间距d的函数关系．
（3）结合第二问的分析，可得出质量
与两板间距d的函数关系．
| 1 |
| v0 |
（2）结合第一问中的临界条件，得出恰好经过下板右边缘的离子的竖直位移表达式，再由收集效率的表达式η=
| x |
| d |
（3）结合第二问的分析，可得出质量
| △M |
| △t |
解答：解：
（1）收集效率η为81%，即离下板0.81d0的尘埃恰好到达下板的右端边缘，设高压电源的电压为U，在水平方向有：
L=v0t…①
在竖直方向有：
0.81d0=
at2…②
其中：a=
=
=
…③
当减少两板间距时，能够增大电场强度，提高装置对尘埃的收集效率．收集效率恰好为100%时，两板间距为dm．如果进一步减少d，收集效率仍为100%．
因此，在水平方向有L=v0t…④
在竖直方向有dm=
a′t2…⑤
其中a′=
=
=
…⑥
联立①②③④⑤⑥可得dm=0.9d0…⑦
（2）通过前面的求解可知，当d≤0.9d0时，收集效率η为100%；
当d＞0.9d0时，设距下板x处的尘埃恰好到达下板的右端边缘，此时有x=
(
)2…⑧
根据题意，收集效率为η=
…⑨
联立①②③⑧⑨可得η=0.81(
)2
（3）稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量
=ηnmbdv0
当d≤0.9d0时，η=1，因此
=nmbdv0
当d＞0.9d0时，η=0.81(
)2，因此
=0.81nmbv0
绘出的图线如图．
答：（1）收集效率为100%时，两板间距的最大值为0.9d0
（2）收集率η与两板间距d的函数关系为η=0.81(
)2
（3）尘埃质量
与两板间距d的函数关系为当d≤0.9d0时，
=nmbdv0，当d＞0.9d0时，
=0.81nmbv0
．
（1）收集效率η为81%，即离下板0.81d0的尘埃恰好到达下板的右端边缘，设高压电源的电压为U，在水平方向有：
L=v0t…①
在竖直方向有：
0.81d0=
| 1 |
| 2 |
其中：a=
| F |
| m |
| qE |
| m |
| qU |
| md0 |
当减少两板间距时，能够增大电场强度，提高装置对尘埃的收集效率．收集效率恰好为100%时，两板间距为dm．如果进一步减少d，收集效率仍为100%．
因此，在水平方向有L=v0t…④
在竖直方向有dm=
| 1 |
| 2 |
其中a′=
| F′ |
| m |
| qE′ |
| m |
| qU |
| mdm |
联立①②③④⑤⑥可得dm=0.9d0…⑦
（2）通过前面的求解可知，当d≤0.9d0时，收集效率η为100%；
当d＞0.9d0时，设距下板x处的尘埃恰好到达下板的右端边缘，此时有x=
| 1 |
| 2 |
| qU |
| md |
| L |
| v0 |
根据题意，收集效率为η=
| x |
| d |
联立①②③⑧⑨可得η=0.81(
| d0 |
| d |
（3）稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量
| △M |
| △t |
当d≤0.9d0时，η=1，因此
| △M |
| △t |
当d＞0.9d0时，η=0.81(
| d0 |
| d |
| △M |
| △t |
| ||
| d |
绘出的图线如图．
答：（1）收集效率为100%时，两板间距的最大值为0.9d0
（2）收集率η与两板间距d的函数关系为η=0.81(
| d0 |
| d |
（3）尘埃质量
| △M |
| △t |
| △M |
| △t |
| △M |
| △t |
| ||
| d |
点评：本题主要考查了带电粒子在匀强电场中的偏转问题，考查对临界问题和类平抛运动问题的分析、解决问题的能力．
对于临界问题分析时首先要找临界条件；对类平抛运动要从三个方面着手：①分运动的独立性；②分运动的等时性；③由x=
(
)2，可知出现临界问题的原因有：极板长度、极板间距、粒子的速度．
对于临界问题分析时首先要找临界条件；对类平抛运动要从三个方面着手：①分运动的独立性；②分运动的等时性；③由x=
| qU |
| 2md |
| L |
| v0 |
练习册系列答案
相关题目
如图甲所示，静电除尘装置中有一长为L、宽为b、高为d的矩形通道，其前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用金属材料．图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定的高压直流电源相连．质量为m、电荷量为-q、分布均匀的尘埃以水平速度v0进入矩形通道，当带负电的尘埃碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集．已知当d=d0时离下板0.81d0范围内的尘埃能够被收集．不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用．求进入通道的所有尘埃都能被收集时，两板间的最大距离dm．
