Question

有一质量为m的小球沿如下图所示的轨道下滑（倾斜部分与圆形部分平滑连接），小球离地面高度为H，倾斜部分粗糙，圆形轨道部分光滑，半径为R，小球恰好能通过最高点．求：
（1）摩擦阻力做的功．
（2）在轨道最低点小球对轨道的压力．

Answer 1

分析：（1）小球恰好能通过圆弧轨道最高点，说明此时恰好是物体的重力作为向心力，由向心力的公式可以求得在最高点的速度大小，再根据动能定理求解摩擦阻力做的功．
（2）先由机械能守恒定律求出小球经过最低点时的速度．在最低点时，对物体受力分析，重力和支持力的合力作为向心力，由向心力的公式可以求得小球受得支持力的大小，再由牛顿第三定律可以知道对轨道压力的大小．

解答：解：（1）小球恰好能通过最高点在最高点，由重力提供向心力，则有：mg=m

v 2 高

R

，①
对于整个过程，由动能定理得：mg（H-2R）+W_f=

1

2

m

v

2 高

 ③
联立两式解得，Wf=

1

2

mgR-mg(H-2R)
（2）从最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得：
   mg?2R+

1

2

m

v

2 高

=

1

2

m

v

2 低

在最低点，由牛顿第二定律得：N-mg=m

v 2 低

R

解得N=6mg
根据牛顿第三定律得：在轨道最低点小球对轨道的压力大小N′=N=6mg，方向竖直向下．
答：
（1）摩擦阻力做的功为

1

2

mgR-mg(H-2R)．
（2）在轨道最低点小球对轨道的压力为6mgR，方向竖直向下．

点评：本题的突破口是小球恰好能通过最高点，关键抓住重力等于向心力求出最高点的速度．