Question

如图所示，竖直放置的平行金属板M和N，它们的中央各有一个小孔O₁、O₂，上端接有阻值为2R的电阻，下端分别与竖直放置的足够长的光滑金属导轨连接（金属板及导轨电阻不计），它们间距离为L，导轨处在大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中．金属板M的左侧有直径为L，内壁光滑绝缘弹性圆筒，圆筒水平放置，筒内有如图所示的匀强磁场，筒壁开有小孔a，a、O₁、O₂与圆筒轴线上点O₃在同一水平线上．现使质量为M、长度为L、电阻值为R导体棒PQ沿导轨从静止开始下滑，下滑过程中PQ始终与导轨接触良好．求：
（1）导体棒PQ下落的最大速度；
（2）导体棒PQ运动稳定后，一电荷量为+q，质量为ma
的粒子（重力不计）在O₁处静止释放，经电场加速后从小孔进入筒内，与筒壁碰撞四次后又从小孔a处出来，设碰撞过程中粒子电量不变，则筒内磁感应强度B′多大．

Answer 1

分析：（1）杆受安培力和重力之后平衡时得到最大速度，利用安培力等于重力即可求解；
（2）求出粒子进入圆筒的速度，粒子在圆筒中碰撞有两种情况，分别都是碰撞四次，分情况求出运动半径，然后即可求出磁场强度大小．

解答：解：（1）设杆PQ的最大速度为V，由平衡条件得：F_安=Mg…①
产生的感应电动势：E=BLV…②
回路中的感应电流：I=

E

2R+R

…③
杆受到的安培力大小：F_安=BIL…④
联立①②③④得：V=

3MgR

B2L2

（2）设杆PQ运动稳定后，MN两板间的电压为U，则：

U

E

=

2R

3R

…⑤
带电粒子进入圆筒的速率为V₁则：qU=

1

2

mV12…⑥
在磁场中做匀速圆周运动的半径为r   qB′V₁=m

V12

r

…⑦
联立⑤⑥⑦得：B′=

2

r

MmgR qBL

…⑧
据题意可知，每次碰撞前后，粒子的速度大小不变，速度的方向总是沿着圆筒半径方向，4各碰撞点与小孔a恰好将圆筒五等分，如图：
设每段轨迹圆弧对应的圆心角为θ，由几何关系得：
ctg

θ

2

=

r

L 2

…⑨
图甲中的θ=π-

2π

5

…⑩
联立⑧⑨⑩得：
B′=

4

Lctg 3π 10

MmgR qBL

或B′=

4

Ltg π 5

MmgR qBL

在图乙中：θ=π-

4π

5

=

π

5

   
联立⑧⑨解得：
B′=

4

Lctg π 10

MmgR qBL

，或B′=

4

Ltg 2π 5

MmgR qBL

答：（1）导体棒PQ下落的最大速度为

3MgR

B2L2

；
（2）筒内磁感应强度B′为

4

Lctg 3π 10

MmgR qBL

或

4

Ltg π 5

MmgR qBL

；或者

4

Lctg π 10

MmgR qBL

或

4

Ltg 2π 5

MmgR qBL

．

点评：粒子在磁场中运动的问题，关键是确定轨迹半径；导体棒导体切割类型，是电磁感应、电路与力学知识的综合，从力和能两个角度研究．