Question

【题目】均质杆长为，竖直地放在桌面边缘上，点与桌面的边缘接触．给一微小扰动，杆将绕点向外转动．当杆受到桌子的反力为零时，杆将离开桌子，试求：

（1）当杆离开桌子时，杆转过的角度，并求此时杆的角速度？

（2）如果杆垂直地打击地面，则桌子的高度应为多少？

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

杆的受力分析如图所示．

（1）取杆为研究对象，在杆未离开桌子时，可以将杆的运动看作绕的转动，根据动能定理，有

． ①

由于绕点转动，有，将其代入式①中，可解得．

质心的法向加速度为．

根据质心运动定理，有

，， ②

解之得．

当杆离开桌面时有，即，即．

故杆离开桌子时，杆转过的角度为．

此时，杆转动的角速度为

（2）当杆脱离桌子时，仅受重力作用，杆作平面运动，如图所示．

根据杆对质心的动量矩定理，即，可得，因此杆转动的角速度不变．杆质心运动的速度为，于是有

，．

要使杆垂直地打击地面，其转过的角度应满足，，2，3，…．

因此，杆在离开桌子到打击地面所运动的时间为

杆质心在铅直方向的位移为

于是，桌子的高度应满足