Question

14．如图所示，水平地面上方竖直边界MN左侧存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿竖直方向的匀强电场E₂（未画出），磁感应强度B=1.0T，MN边界右侧离地面h=3m处有长为L=0.91m的光滑水平绝缘平台，平台的左边缘与MN重合，平台右边缘有一质量m=0.1kg、电量q=0.1C的带正电小球，以初速度v₀=0.6m/s向左运动．此时平台上方存在E₁=2$\sqrt{2}$N/C的匀强电场，电场方向与水平方向成θ角，指向左下方，小球在平台上运动的过程中，θ为45°至90°的某一确定值．若小球离开平台左侧后恰好做匀速圆周运动，小球可视为质点，g=10m/s²．求（计算结果保留3位有效数字）：
（1）电场强度E₂的大小和方向．
（2）小球离开平台左侧后在磁场中运动的最短时间．
（3）小球离开平台左侧后，小球落地点的范围．

Answer 1

分析 （1）小球做匀速圆周运动，电场力等于重力，据此求出场强．
（2）小球在磁场中做匀速圆周运动，求出小球做圆周运动的圆心角，然后求出其运动时间．
（3）求出小球落地点最左侧距离，然后求出落地点的右侧距离，然后确定其落地点范围．

解答 解：（1）小球在MN左侧做匀速圆周运动，重力与电场力合力为零，
即：qE₂=mg，
代入数据解得：E₂=10N/C，
电场力竖直向上，小球带正电，场强竖直向上；
（2）θ=90°时，小球在平台上做匀速直线运动，离开平台左侧时的速度最小为：v_min=v=0.6m/s，
当θ=45°时，小球离开平台左侧时的速度最大，由动能定理得：qE₁Lcosθ=$\frac{1}{2}$mv_max²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v_max=2m/s，小球通过MN后的速度0.6m/s≤v≤2m/s，
小球以2m/s速度在磁场中做匀速圆周运动的时间最短，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
小球做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
解得：R=2m，T=2π，
因为sinθ=$\frac{h-R}{R}$=$\frac{1}{2}$，则θ=30°，
小球在磁场中转过的圆心角α=120°，
小球在磁场中的运动时间：t=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{120°}{360°}$×2π=$\frac{2π}{3}$s≈2.1s；
（3）小球落在N点左侧的最大距离时有：L=Rcos30°=$\sqrt{3}$m≈1.73m，
小球从右边界飞出的最小半径为：R′=$\frac{m{v}_{min}}{qB}$=0.6m，
小球离开磁场后做平抛运动，
竖直方向：h-2R′=$\frac{1}{2}$gt²，
水平方向：s=v′t，
速度：v′=$\frac{qBR′}{m}$，
解得：s=$\sqrt{\frac{1}{5}（h-2R′）R{′}^{2}}$，
当R′=1m时，s有最大值，
因为0.6m≤R′≤1.5m，
则s=$\sqrt{\frac{1}{5}（h-2R′）R{′}^{2}}$成立，
代入数据解得：s=$\frac{\sqrt{5}}{5}$m≈0.447m，
所以，小球的落点在距N点左边1.73m、右边0.447m的范围内．
答：（1）电场强度E₂的大小为10N/C，方向：竖直向上；
（2）小球离开平台左侧后在磁场中运动的最短时间为2.1s；
（3）小球离开平台左侧后，小球落地点的范围是：N点左边1.73m、右边0.447m的范围内．

点评 本题是小球在重力场、电场与磁场的复合场中运动类型，考查受力平衡的状态方程，机械能守恒与动量守恒定律的应用，关键要把握每个过程遵守的物理规律，结合几何知识进行处理．