Question

如图所示，环状磁场（方向垂直于纸面）围成的中空区域，具有束缚带电粒子的作用，中空区域中带电粒子只要速度不大，都不会飞出磁场的外边缘，设环状磁场的内半径R₁=0.5m，外半径R₂=1.0m，磁场的磁感应强度为B=1.0T，若被束缚的带电粒子的比荷为

q

m

=4×107C/kg，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度，试求：
①若粒子沿圆环的半径方向射入磁场而不能穿越磁场的最大速度．
②所有粒子不能穿越磁场的最大速度．

Answer 1

分析：①根据粒子沿圆环半径方向射入磁场而恰好不能射出时，画出运动轨迹图，根据几何知识，可求出轨迹半径，再由牛顿第二定律与向心力表达式，从而即可求解；
②由题意可知，所有沿内环边缘切线飞出的带电粒子最可能飞磁场，当这样的粒子恰好不能飞出磁场时，这样肯定不会粒子飞出磁场，从而画出运动轨迹图，并由几何关系求出运动半径，再由牛顿第二定律与向心力表达式，从而即可求解．

解答：解：①粒子沿圆环半径方向射入磁场而恰好不能射出时，
其轨迹如图（a）所示．

对Rt△OAO₁，由几何知识可得：r2+R12=(R2-r)2，
解得：r=0.375m      
由牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，则有：Bqv=m

v2

r

解得：vm=

Bqr

m

=1×4×107×0.375m/s=1.5×10⁷m/s．
②所有粒子有能穿越磁场，相当于从内环圆周边缘上一点（如A）沿任何方向射出的粒子都不能穿越磁场．在所有粒子中沿内环边缘切线飞出的带电粒子最可能飞磁场，当这样的粒子恰好不能飞出磁场时，
轨迹如图（b）所示，

其轨道半径为：r=

1

2

?(R2-R1)=0.25m，
由牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力，则有：Bqv=m

v2

r

解得：vmax=

Bqr

m

=1.0×107m/s
答：①若粒子沿圆环的半径方向射入磁场而不能穿越磁场的最大速度vmax=1.5×107m/s．
②所有粒子不能穿越磁场的最大速度1×10⁷m/s．

点评：考查学会粒子在磁场中运动的临界状态，掌握牛顿第二定律与向心力的综合运用，理解几何关系的正确计算，注意画好运动轨迹图是解题的关键之处之一．