题目内容
如图甲所示，静电除尘装置中有一长为L、宽为b、高为d的矩形通道，其前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用金属材料．图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定的高压直流电源相连．质量为m、电荷量为-q、分布均匀的尘埃以水平速度v0进入矩形通道，当带负电的尘埃碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集．通过调整两板间距d可以改变收集效率η．当d=d0时η为81%（即离下板0.81d0范围内的尘埃能够被收集）．不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用．
（1）求收集效率为100%时，两板间距的最大值dm；
（2）求收集率η与两板间距d的函数关系；
（3）若单位体积内的尘埃数为n，求稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量
与两板间距d的函数关系，并绘出图线．
（1）求收集效率为100%时，两板间距的最大值dm；
（2）求收集率η与两板间距d的函数关系；
（3）若单位体积内的尘埃数为n，求稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量
| △M |
| △t |
（1）收集效率η为81%，即离下板0.81d0的尘埃恰好到达下板的右端边缘，设高压电源的电压为U，在水平方向有：
L=v0t…①
在竖直方向有：
0.81d0=
| 1 |
| 2 |
其中：a=
| F |
| m |
| qE |
| m |
| qU |
| md0 |
当减少两板间距时，能够增大电场强度，提高装置对尘埃的收集效率．收集效率恰好为100%时，两板间距为dm．如果进一步减少d，收集效率仍为100%．
因此，在水平方向有L=v0t…④
在竖直方向有dm=
| 1 |
| 2 |
其中a′=
| F′ |
| m |
| qE′ |
| m |
| qU |
| mdm |
联立①②③④⑤⑥可得dm=0.9d0…⑦
（2）通过前面的求解可知，当d≤0.9d0时，收集效率η为100% 当d＞0.9d0时，设距下板x处的尘埃恰好到达下板的右端边缘，此时有x=
| 1 |
| 2 |
| qU |
| md |
| L |
| v0 |
根据题意，收集效率为η=
| x |
| d |
联立①②③⑧⑨可得η=0.81(
| d0 |
| d |
（3）稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量
| △M |
| △t |
当d≤0.9d0时，η=1，因此
| △M |
| △t |
当d＞0.9d0时，η=0.81(
| d0 |
| d |
| △M |
| △t |
| ||
| d |
绘出的图线如图．
答：（1）收集效率为100%时，两板间距的最大值为0.9d0
（2）收集率η与两板间距d的函数关系为η=0.81(
| d0 |
| d |
（3）尘埃质量
| △M |
| △t |
| △M |
| △t |
| △M |
| △t |
| ||
| d |
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