Question

（2012?房山区模拟）发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h₁的圆形轨道上，在卫星经过A点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B．在卫星沿椭圆轨道运动经过B点再次点火实施变轨，将卫星送入同步轨道（远地点B在同步轨道上），如图所示．两次点火过程都是使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短．已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，求：
（1）地球的第一宇宙速度
（2）卫星在圆形轨道运行接近A点时的加速度大小；
（3）卫星同步轨道距地面的高度．

Answer 1

分析：（1）近地圆轨道上万有引力等于重力，根据重力提供圆周运动向心力可以求出地球的第一宇宙速度表达式；
（2）在地球表面重力等于万有引力，在轨道上A处万有引力提供圆周运动向心力，据此列式求解A点的向心加速度；
（3）同步卫星周期与地球自转周期相同，根据万有引力提供圆周运动向心力分析．

解答：解：（1）卫星作圆周运动向心力由重力提供即：
mg=m

v2

R

解得：v=

gR

（2）设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G、卫星在近地圆轨道运动接近A点时的加速度为a_A，在A点万有引力提供圆周运动向心力有：
G

Mm

(R+h1)2

=maA       ①
又因为物体在地球表面上受到的万有引力等于重力
G

Mm

R2

=mg        ②
由①和②解得：aA=

R2

(R+h1)2

g
（3）设同步轨道距地面高度为h₂，根据万有引力提供向心力有：、
G

Mm

(R+h2)2

=m(R+h2)

4π2

T2

        ③
由②③两式解得：h₂=

3	gR2T2 4π2

-R
答：（1）地球的第一宇宙速度v=

gR

（2）卫星在圆形轨道运行接近A点时的加速度大小为aA=

R2

(R+h1)2

g；
（3）卫星同步轨道距地面的高度h₂=

3	gR2T2 4π2

-R．

点评：卫星问题主要抓住两点：一是地球表面重力和万有引力相等，二是卫星做圆周运动时万有引力提供圆周运动的向心力．