Question

如图所示，在竖直平面内放置一长为L、内壁光滑的薄壁玻璃管，在玻璃管的a端放置一个直径比玻璃管直径略小的小球，小球带电荷量为-q、质量为m．玻璃管右边的空间存在着匀强电场与匀强磁场．匀强磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度为B；匀强电场方向竖直向下，电场强度大小为mg/q，场的左边界与玻璃管平行，右边界足够远．玻璃管带着小球以水平速度V₀垂直于左边界进入场中向右运动，由于水平外力F的作用，玻璃管进入场中速度保持不变，一段时间后小球从玻璃管b端滑出并能在竖直平面内自由运动，最后从左边界飞离电磁场．运动过程中小球的电荷量保持不变，不计一切阻力，求：
（1）小球从玻璃管b端滑出时的速度大小；
（2）从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程中，外力F所做的功；
（3）从玻璃管进入磁场至小球离开场的过程中小球的最大位移．

Answer 1

分析：（1）小球的运动分解为水平方向和竖直方向，如图．在y轴方向，重力与电场力平衡，小球受到洛伦兹力向上的分力，大小F_y=qv₀B不变，则小球在y轴方向做匀加速直线运动．由牛顿第二定律和运动学公式求解．
（2）水平方向上外力F与洛伦兹力水平方向分力平衡，根据运动的分解求出v_y、小球在管中运动的时间和水平位移x，研究外力F与水平位移的关系，根据功的计算公式求解．
（3）小球飞离管口后在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，根据几何知识求出最大位移．

解答：解：（1）由E=

mg

q

得，qE=mg，即小球的重力与电场力平衡．
     小球在管中向上运动的加速度为a=

Fy

m

=

qv0B

m

，不变
设小球运动到b端时沿y方向的分速度为v_y，则
      v_y²=2aL
故小球从玻璃管b端滑出时的速度大小为
     v=

v 2 0 +v 2 y

=

v 2 0 + 2qv0BL m

    （2）由平衡条件可知玻璃管受到的水平外力为
     F=F_y=qv_yB，v_y=at=

qv0B

m

t
解得F=

q2B2v0

m

t
   又L=

1

2

at2，得t=

2L a

=

2mL qBv0

   水平方向位移x=v₀t，得到F=

q2B2x

m

可见F是变力，而且大小随玻璃管的位移增大而均匀变化，
   则F所做的功为
   W=

1

2

（0+

q2B2v0

m

2mL qBv0

）?v0

2mL qBv0

=qBv₀L
（3）由于小球的重力与电场力平衡，则小球离开玻璃管后做匀速圆周运动，设半径为R，其运动轨迹如图．
t时间内玻璃管运动的距离x=v₀t=v₀

2mL qBv0

   由牛顿第二定律得qvB=m

v2

R

   由几何关系得：sinα=

x-x1

R

        又

x1

R

=

vy

v

  则x₁=

vy

v

R=

qBv0t

mv

?

mv

qB

=v₀t=x
得到sinα=0．故小球飞离磁场时速度方向垂直于磁场边界向左．
   则小球在磁场中运动的最大位移为
     S=L+R（1+cosθ）
其中cosθ=

v0

v 2 0 + 2qBLv0 m

     得到S=L+

m

qB

(

2qBv0L m + v 2 0

+v0)
答：（1）小球从玻璃管b端滑出时的速度大小为

v 2 0 + 2qv0BL m

；
    （2）从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程中，外力F所做的功为qBv₀L；
    （3）从玻璃管进入磁场至小球离开场的过程中小球的最大位移为L+

m

qB

(

2qBv0L m + v 2 0

+v0)．

点评：本题第（2）问也可以用动能定理求解：对系统W=

1

2

m(v2-

v

2 0

)=

1

2

m

v

2 y

=qBv₀L．