Question

相互平行的两根足够长的金属导轨置于水平面上，导轨光滑，间距为d，导轨的左端连接有阻值为R的电阻，导轨自身电阻不计，垂直于导轨平面的匀强磁场的磁感应强度为B，现有一质量为m，电阻不计的金属棒垂直置于导轨上．
（1）若给金属棒以向右的初速度V₀，求在金属棒整个运动过程中电阻R上的焦耳热Q₁
（2）若给金属棒施加一水平向右的恒力F，已知从金属棒开始运动到刚达到稳定运行的过程中，电阻R上的焦耳热为Q，求此过程中流过R的电量q
（3）若给金属棒施加水平向右的拉力的功率恒为P，已知从金属棒开始运动到刚达到稳定运行的过程中历经的时间为t，求此过程中电阻R上产生的热量Q₂．

Answer 1

分析：（1）由能量的转化和守恒可知，金属棒的动能会全部转化为电阻上的焦耳热．
（2）达到稳定时安培力与F等大反向，可得此时的速度，此过程中拉力做功转化为电阻上的焦耳热和金属棒的动能，再由感应电量的表达式q=

△?

R

，可得此过程中流过R的电量q．
（3）由功率P=Fv和安培力表达式可以得到速度表达式，也即可以得到动能表达式，此过程中拉力做功转化为电阻上的焦耳热和金属棒的动能，由此可求此过程中电阻R上产生的热量Q₂．

解答：解：（1）由能量的转化和守恒可知，金属棒的动能会全部转化为电阻上的焦耳热，若给金属棒以向右的初速度v₀，在金属棒整个运动过程中电阻R上的焦耳热Q₁为：
Q1=

1

2

mv02…①
（2）达到稳定时安培力与F等大反向，设此时导体棒的速度为v，位移为x，由此可得：
F=BIL=

B2L2v

R

…②
解得：v=

FR

B2L2

…③
此过程中拉力做功转化为电阻上的焦耳热和金属棒的动能：
Fx=Q+

1

2

mv2…④
由感应电量的表达式：
q=

△?

R

=

BLx

R

…⑤
解得：x=

qR

BL

…⑥
由③④⑥解得：q=

BLQ

FR

+

mFR

2B4L4

（3）由功率：P=Fv…⑦
由②⑦解得：v2=

PR

B2L2

…⑧
拉力做功为：W=Pt
此过程拉力做功转化为电阻上的焦耳热和金属棒的动能：
Pt=Q2+

1

2

mv2…⑨
由⑧⑨解得：Q2=Pt-

mPR

2B4L4

答：（1）若给金属棒以向右的初速度V₀，求在金属棒整个运动过程中电阻R上的焦耳热Q1=

1

2

mv

2 0

．
（2）若给金属棒施加一水平向右的恒力F，已知从金属棒开始运动到刚达到稳定运行的过程中，电阻R上的焦耳热为Q，此过程中流过R的电量q=

BLQ

FR

+

mFR

2B4L4

．
（3）若给金属棒施加水平向右的拉力的功率恒为P，已知从金属棒开始运动到刚达到稳定运行的过程中历经的时间为t，此过程中电阻R上产生的热Q2=Pt-

mPR

2B4L4

．

点评：解决本题关键是掌握好能量的转化和守恒，另一个重点是要掌握由感应电量的表达式q=

△?

R

，题目难度稍大．