题目内容
如图甲所示，“月”字形轨道的每一短边的长度都等于a，只有三根平行的短边有电阻，阻值都是r，不计其它各边电阻．使导轨平面与水平面成夹角θ固定放置，如图乙所示．一根质量为m的条形磁铁，其横截面是边长为a的正方形，磁铁与导轨间的摩擦不计，磁铁与导轨间绝缘．假定导轨区域内的磁场全部集中在磁铁的端面，并可近似为匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直导轨平面．开始时让磁铁从轨道上某一位置由静止下滑，使磁铁恰能匀速进入正方形2．在磁铁从开始运动到其端面与正方形1重合的过程中，求：（已知重力加速度为g）
（1）磁铁下滑时离正方形2上边的距离S；
（2）上述过程中通过MN边的感应电荷量q；
（3）上述过程中所有电阻产生的热量Q．
（1）磁铁下滑时离正方形2上边的距离S；
（2）上述过程中通过MN边的感应电荷量q；
（3）上述过程中所有电阻产生的热量Q．
分析：（1）磁铁匀速进入正方形2过程，线框2产生感应电动势，画出等效电路图，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式求出切割磁感线受到的安培力，由牛顿第三定律得到磁铁所受的安培力．由于磁铁匀速运动，受力平衡，由平衡条件列式，求出磁铁匀速运动的速度，即可由运动学公式求出S．
（2）当磁铁进入正方形1时，仍以速度v做匀速直线运动，由运动学公式求出整个过程磁铁运动经历的时间t．根据平衡条件求出感应电流I，电量为q=
It．
（3）根据能量守恒求所有电阻产生的热量Q．
（2）当磁铁进入正方形1时，仍以速度v做匀速直线运动，由运动学公式求出整个过程磁铁运动经历的时间t．根据平衡条件求出感应电流I，电量为q=
| 1 |
| 2 |
（3）根据能量守恒求所有电阻产生的热量Q．
解答：解：（1）设磁铁匀速进入正方形2的速度为v，等效电路如图所示．
感应电动势：E=Bav
总电阻：R=r+
=
r
感应电流：I=
=
切割磁感线的短边受到的安培力：F=BIa=
短边受到的安培力与磁铁受到的力是作用力与反作用力．
根据平衡条件得：mgsinθ=F
联立①-⑤解得：v=
由机械能守恒：mgssinθ=
mv2
解得：s=
（2）解法一：当磁铁进入正方形1时，仍以速度v做匀速直线运动．
整个过程磁铁运动经历的时间：t=
解得：t=
根据平衡条件得：mgsinθ=BIa
解得：I=
则通过MN边的感应电荷量：q=
It=
解法二：磁铁刚好全部进入正方形2时，通过闭合回路的总的感应电荷量为：q′=It1=
=
此过程通过MN的感应电荷量是：q1=
q′=
磁铁从正方形2全部进入正方形1的过程，同理可得：q2=
q′=
∴q=q1+q2=
（3）根据能量守恒定律得：Q=2mgasinθ
答：（1）磁铁下滑时离正方形2上边的距离S为
；
（2）上述过程中通过MN边的感应电荷量q为
；
（3）上述过程中所有电阻产生的热量Q为2mgasinθ．
感应电动势：E=Bav
总电阻：R=r+
| r |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
感应电流：I=
| E |
| R |
| 2Bav |
| 3r |
切割磁感线的短边受到的安培力：F=BIa=
| 2B2a2v |
| 3r |
短边受到的安培力与磁铁受到的力是作用力与反作用力．
根据平衡条件得：mgsinθ=F
联立①-⑤解得：v=
| 3mgrsinθ |
| 2B2a2 |
由机械能守恒：mgssinθ=
| 1 |
| 2 |
解得：s=
| 9m2gr2sinθ |
| 8B4a4 |
（2）解法一：当磁铁进入正方形1时，仍以速度v做匀速直线运动．
整个过程磁铁运动经历的时间：t=
| 2a |
| v |
解得：t=
| 4B2a3 |
| 3mgrsinθ |
根据平衡条件得：mgsinθ=BIa
解得：I=
| mgsinθ |
| Ba |
则通过MN边的感应电荷量：q=
| 1 |
| 2 |
| 2Ba2 |
| 3r |
解法二：磁铁刚好全部进入正方形2时，通过闭合回路的总的感应电荷量为：q′=It1=
| Ba2 |
| R |
| 2Ba2 |
| 3r |
此过程通过MN的感应电荷量是：q1=
| 1 |
| 2 |
| Ba2 |
| 3r |
磁铁从正方形2全部进入正方形1的过程，同理可得：q2=
| 1 |
| 2 |
| Ba2 |
| 3r |
∴q=q1+q2=
| 2Ba2 |
| 3r |
（3）根据能量守恒定律得：Q=2mgasinθ
答：（1）磁铁下滑时离正方形2上边的距离S为
| 9m2gr2sinθ |
| 8B4a4 |
（2）上述过程中通过MN边的感应电荷量q为
| 2Ba2 |
| 3r |
（3）上述过程中所有电阻产生的热量Q为2mgasinθ．
点评：本题打破常规，是磁铁运动，导体不动，仍然运用电磁感应的基本规律：法拉第定律、欧姆定律、安培力公式，结合平衡条件和能量守恒进行求解．
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第1卷单元月考期中期末系列答案
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