Question

如图甲所示，两块正对的平行金属板AB和CD板间距为d，长度为?，B、D为两板的右端点，在金属板B、D端的右侧有一与金属板垂直放置的荧光屏MN，荧光屏距B、D端的距离为?．质量m、电量e的电子以相同的初速度从极板左边中央沿平行极板的直线连续不断地射入．当两板均不带电时，这些电子通过两板之间的时间为3T/2；当在两板间加如图乙所示的周期为T，幅值恒为U₀的周期性电压时（t=0时刻AB板电势高于CD板），所有电子均能从两板间通过．试确定：
（1）在t=

T

2

时刻从两板间飞入的电子在飞出电场时运动方向与水平方向的夹角为多少（用e、m、U₀、T、?、d及反正切函数表示）；
（2）电子在荧光屏上分布的范围．（忽略极板边缘处电场的影响，不计电子的重力以及电子之间的相互作用，取e/m=2×10¹⁰c/kg，U₀=20V，T=10-6s，d=1m）．

Answer 1

分析：（1）在t=

T

2

时刻从两板间飞入的电子，在

T

2

-T时间内做匀速直线运动，在T-

3

2

T时间内做类平抛运动，在

3

2

T-2T时间内做匀速直线运动．根据运动的分解法，由牛顿第二定律和运动学公式求解电子在飞出电场时运动方向与水平方向的夹角．
（2）在0时刻从两板间飞入的电子，在0-

T

2

时间内做类平抛运动，在

T

2

-T时间内做匀速直线运动，在T-

3

2

T时间内做类平抛运动，这些电子偏转的距离最大．在t=

T

2

时刻从两板间飞入的电子在荧光屏上偏转的距离最小，由牛顿第二定律和运动学公式求解电子在荧光屏上偏转距离．

解答：解：（1）在t=

T

2

时刻从两板间飞入的电子，在

T

2

-T时间内做匀速直线运动，在T-

3

2

T时间内做类平抛运动，在

3

2

T-2T时间内做匀速直线运动．
电子做类平抛运动的加速度大小为
  a=

eU0

md

，
运动时间为

T

2

．
设电子在飞出电场时运动方向与水平方向的夹角为θ，则有
  tanθ=

vy

v0

=

at

v0

=

eU0 md ? T 2

v0

=

eU0T

2mdv0

①
又l=v0?

3

2

T②
由①②得，tanθ=

3eU0T2

4mdl

，则θ=arctan

3eU0T2

4mdl

．
（2）在0时刻从两板间飞入的电子，在0-

T

2

时间内做类平抛运动，在

T

2

-T时间内做匀速直线运动，在T-

3

2

T时间内做类平抛运动，这些电子偏转的距离最大．
设这些电子在电场中偏转距离为y₁，在荧光屏上偏转的距离Y₁．电子飞出电场时的速度偏向角为α．
则有y₁=

1

2

aT2+v0?

T

2

tanθ=

3eU0T2

4md

    tanα=

vY

v0

=

aT

v0

=

3eU0T2

2mdl

    Y₁=y₁+ltanα=

9eU0T2

4md

代入解得，Y₁=0.9m．
在t=

T

2

时刻从两板间飞入的电子在荧光屏上偏转的距离最小，同理可求得电子在荧光屏上偏转的距离Y₂=0.45m．
答：
（1）在t=

T

2

时刻从两板间飞入的电子在飞出电场时运动方向与水平方向的夹角为arctan

3eU0T2

4mdl

．
（2）电子在荧光屏上分布的范围是：在荧光屏上O点上方距O点的距离范围是0.45m-0.9m．

点评：本题粒子电子在周期性电场中，分析电子的运动情况是关键，运用运动的分解法研究；