Question

3．如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一固定在地上的挡板，使B不能左右运动，在环的最低点静置一小球C，A、B、C的质量均为m．给小球一水平向右的瞬时速度，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，则小球在最高点的速度必须满足什么条件？

Answer 1

分析 小球能通过最高点的临界情况是轨道对小球的弹力为零，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出最高点的最小速度．为了不会使环在竖直方向上跳起，在最高点，环对小球的作用力不能超过A和B的重力，结合牛顿第二定律求出最高点的最大速度．

解答 解：在最高点，速度最小时有：$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$，解得：${v}_{1}=\sqrt{gr}$，
在最高点，速度最大时有：$mg+F=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{r}$，F=2mg，解得：${v}_{2}=\sqrt{3gr}$，
所以保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，在最高点的速度范围为$\sqrt{gr}≤v≤\sqrt{3gr}$．
答：小球在最高点的速度必须满足$\sqrt{gr}≤v≤\sqrt{3gr}$．

点评 本题考查了牛顿第二定律和圆周运动的运用，关键理清在最高点的两个临界情况，求出在最高点的最大速度和最小速度．