Question

1．小河宽为d，河水中各点水流速的大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v_水=kx，k=$\frac{4{v}_{0}}{d}$，x是各点到较近河岸的距离．若小船在静水中的速度为v₀，小船的船头垂直河岸渡河，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 小船渡河的轨迹为直线
• B． 小船渡河的时间等于$\frac{d}{{v}_{0}}$
• C． 小船到达离河岸$\frac{d}{2}$处，船的速度为3v₀
• D． 小船到达离河对岸$\frac{3d}{4}$处，船的渡河速度为$\sqrt{2}$v₀

Answer 1

分析 将小船的运动分解为沿船头指向和顺水流方向的两个分运动，两个分运动同时发生，互不干扰，与合运动相等效．根据运动的合成来确定初速度与加速度的方向关系，从而确定来小船的运动轨迹；小船垂直河岸渡河时间最短，由位移与速度的比值来确定运动的时间；由水流速度的大小与各点到较近河岸边的距离成正比，来确定水流的速度，再由小船在静水中的运动速度，从而确定小船的渡河速度．

解答 解：A、小船的速度为沿船头指向和顺水流方向的两个分运动的分速度的矢量和，而两个分速度垂直，故当顺水流方向的分速度最大时，合速度最大，合速度的方向随顺水流方向的分速度的变化而变化，故小船到达河中心时速度最大，且运动轨迹为曲线，故A错误，
B、将小船的运动分解为沿船头指向和顺水流方向的两个分运动，两个分运动同时发生，互不干扰，故渡河时间与顺水流方向的分运动无关，当船头与河岸垂直时，沿船头方向的分运动的分位移最小，故渡河时间最短，最短时间为$\frac{d}{{v}_{0}}$，故B正确；
C、小船到达离河岸$\frac{d}{2}$处，v_水=kx=$\frac{4{v}_{0}}{d}$•$\frac{d}{2}$=2v₀，x船的速度为v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+（2{v}_{0}）^{2}}=\sqrt{5}{v}_{0}$．故C错误；
D、小船到达离河对岸$\frac{3d}{4}$处，则水流速度为$v=\frac{4{v}_{0}}{d}×\frac{d}{4}={v}_{0}$，而小船在静水中的速度为v₀，所以船的渡河速度为$\sqrt{2}{v}_{0}$，故D正确；
故选：BD

点评 本题关键是当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，同时合速度与分速度遵循平行四边形定则，同时注意v=kx公式中的x的含义．