Question

如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度B₁=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为A、C；第四象限中，由y轴、抛物线FG（y=-10x²+x-0.025，单位：m）和直线DH（ y=x-0.425，单位：m）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E=2.5N/C的匀强电场；以及直线DH右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B₂=0.5T．现有大量质量为1×10^-6kg（重力不计），电量大小为2×10^-4C，速率均为20m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角在0至180度之间．
（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；
（2）试证明这些粒子经过x轴时速度方向均与x轴垂直；
（3）通过计算说明这些粒子会经过y轴上的同一点，并求出该点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据带电粒子在匀强磁场中运动的半径公式求出粒子运动的半径．
（2）粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相等，通过速度方向与圆周运动的轨道半径垂直，结合几何关系进行证明．
（3）粒子离开圆形磁场沿电场线方向进入电场，速度方向与电场方向一致，根据动能定理得出进入磁场的速度，通过抛物线和直线的轨迹方程，结合圆周运动的知识求出粒子打到y轴上的坐标．
解答：解：（1）根据B₁qv= 得
R₁==0.1m
（2）考察从A点以任意方向进入磁场的粒子，设其从K点离开磁场，O₁和O₂分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此O₁AO₂K为菱形，离开磁场时速度垂直于O₂K，即垂直于x轴，
得证．                                                                                            
（3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（x，y₁），离开电场时的坐标为（x，y₂），离开电场时速度为v₂，在B₂磁场区域做圆周运动的半径为R₂．
有Eq（y₂-y₁）=-mv²                                 
  B₂qv₂=                                     
 并将y₁=-10x²+x-0.025和y₂=x-0.425代入得R₂=X   因v₂的方向与DH成45°，且半径刚好为x坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在y轴上，在此磁场中恰好经过四分之一圆周，并且刚好到达H处，H点坐标为（0，-0.425）．
答：（1）这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径为0.1m．
（2）证明如上．
（3）该点坐标为（0，-0.425）．
点评：本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，关键理清粒子的运动的过程，结合动能定理，牛顿第二定律等知识进行求解，本题对数学能力的要求较高．