Question

16．如图所示，一倾角为θ=30°的光滑足够长斜面固定在水平面上，其顶端固定一劲度系数为k=50N/m的轻质弹簧，弹簧的下端系一个质量为m=1kg的小球，用一垂直于斜面的挡板A挡住小球，此时弹簧没有发生形变，若挡板A以加速度a=4m/s²沿斜面向下匀加速运动，弹簧与斜面始终保持平行，g取10m/s²．求：
（1）从开始运动到小球速度达最大时小球所发生位移的大小；
（2）从开始运动到小球与挡板分离时所经历的时间；
（3）从开始运动到小球与挡板分离时外力对小球的总功．

Answer 1

分析 （1）对球受力分析可知，当球受力平衡时，速度最大，此时弹簧的弹力与物体重力沿斜面的分力相等，由胡克定律和平衡条件即可求得路程．
（2）从开始运动到小球与挡板分离的过程中，挡板A始终以加速度a匀加速运动，小球与挡板刚分离时，相互间的弹力为零，由牛顿第二定律和胡克定律结合求得小球的位移，由挡板运动的位移可以求得物体运动的时间．
（3）根据动能定理列式求解W．

解答 解：（1）球和挡板分离后做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度最大，此时物体所受合力为零．
即 kx_m=mgsinθ，
解得 x_m=$\frac{mgsinθ}{k}$=$\frac{1×10×0.5}{50}$=0.1m．
（2）设球与挡板分离时位移为s，经历的时间为t，
从开始运动到分离的过程中，m受竖直向下的重力，垂直斜面向上的支持力F_N，沿斜面向上的挡板支持力F₁和弹簧弹力F．
根据牛顿第二定律有 mgsinθ-F-F₁=ma，
    F=kx．
随着x的增大，F增大，F₁减小，保持a不变，
当m与挡板分离时，F₁减小到零，则有：
mgsinθ-kx=ma，
又x=$\frac{1}{2}$at²
联立解得 mgsinθ-k•$\frac{1}{2}$at²=ma，
所以经历的时间为 t=$\sqrt{\frac{2m（gsinθ-a）}{ka}}$=$\sqrt{\frac{2×1（10×0.5-4）}{50×4}}$=0.1s．
（3）分离时，小球速度为v=at=4×0.1=0.4m/s
根据动能定理知W=$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×0．{4}^{2}$=0.08J
答：
（1）从开始运动到小球速度达最大时小球所发生位移的大小为0.1m；
（2）从开始运动到小球与挡板分离时所经历的时间为0.1s；
（3）从开始运动到小球与挡板分离时外力对小球的总功为0.08J．

点评 在挡板运动的过程中，挡板对球的支持力的大小是在不断减小的，从而可以使球和挡板一起以恒定的加速度运动，在运动的过程中物体的受力在变化，但是物体的运动状态不变，从而可以求得物体运动的位移和运动的时间．