Question

如图所示为一种获得高能粒子的装置．环形区域内存在垂直纸面向外，大小可调的匀强磁场．M、N为两块中心开有小孔的极板，每当带电粒子经过M、N板时，都会被加速，加速电压均为U；每当粒子飞离电场后，M、N板间的电势差立即变为零．粒子在M、N间的电场中一次次被加速，动能不断增大，而绕行半径R不变（M、N两极板间的距离远小于R）．当t=0时，质量为m，电荷量为+q的粒子静止在M板小孔处；M、N间间距很小，粒子在M、N间的电场中的加速时间可忽略不计；
（1）求粒子绕行n圈回到M板时的动能E_n；
（2）为使粒子始终保持在圆轨道上运动，磁场必须周期性递增；求粒子绕行第n圈时磁感应强度B的大小；
（3）求粒子绕行n圈所需总时间t_n．

Answer 1

（1）粒子绕行一圈动能的增量为qU，绕行n圈所获得的总动能：E_n=nqU
（2）因为nqU=

1

2

m

v

2n

       
qBnvn=

m v 2n

R

                    
得Bn=

1

R

2nmU q

        
（3）粒子做半径为R的匀速圆周运动，每一圈所用时间为

2πR

v

，
由于第一圈速度不同，所以每一圈所需时间也不同
第一圈：qU=

1

2

m

v

21

                    v1=

2qU m

第二圈：2qU=

1

2

m

v

22

                  v2=

2?2qU m

…
第n圈的速度                         vn=

n?2qU m

         
故绕行n圈所需总时间tn=t1+t2+t3+…+tn=

2πR

v1

+

2πR

v2

+…+

2πR

vn

=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

)
答：（1）求粒子绕行n圈回到M板时的动能nqU；
（2）粒子绕行第n圈时磁感应强度B的大小Bn=

1

R

2nmU q

；
（3）求粒子绕行n圈所需总时间tn=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

)．