Question

5．已知地球A和某一行星B的半径之比为R₁：R₂=1：2，平均密度之比为ρ₁：ρ₂=4：1若地球表面的重力加速度为10m/s²，地球的第一宇宙速度是8km/s，则：
（1）B行星表面的重力加速度是多少？
（2）B行星的第一宇宙速度是多少？

Answer 1

分析 根据重力近似等于万有引力，可计算星球的质量，根据质量等于密度乘以体积，可以计算出星球的表面重力加速度与密度和星球半径的关系，再利用比值法可计算出星球B的重力加速度．根据第一宇宙速度定义求解B行星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）根据星球表面的物体受到的重力等于万有引力
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg得
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
又因为M=ρ$•\frac{4}{3}$πR³，
所以g=$\frac{4}{3}$πGρR
已知地球A和某一行星B的半径之比为R₁：R₂=1：2，平均密度之比为ρ₁：ρ₂=4：1
若地球表面的重力加速度为10m/s²，所以B行星表面的重力加速度g_B=$\frac{1}{2}$g=5m/s²，
（2）根据第一宇宙速度定义得
v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{4Gπ{ρR}^{2}}{3}}$
已知地球A和某一行星B的半径之比为R₁：R₂=1：2，平均密度之比为ρ₁：ρ₂=4：1
地球的第一宇宙速度是8km/s，所以B行星的第一宇宙速度是v_B=v_地=8km/s，
答：（1）B行星表面的重力加速度是5m/s²，
（2）B行星的第一宇宙速度是8km/s．

点评 本题根据重力等于万有引力推导出的表达式GM=R²g，常常称为黄金代换式，是卫星问题经常用到的表达式．