Question

(20分）如图所示，足够长光滑水平轨道与半径为i?的光滑四分之一圆弧轨道相切。现从圆弧轨道的最高点由静止释放一质量为m的弹性

小球A,当A球刚好运动到圆弧轨道的最低点时，与静止在该点的另一弹性小球B发生没有机械能损失的碰撞。已知B球的质量是A球质量的k倍，且两球均可看成质点。

(1) 若碰撞结束的瞬间，A球对圆弧轨道最低点压力刚好等于碰前其压力的一半，求k的可能取值：

(2) 若k已知且等于某一适当的值时，A、B两球在水平轨道上经过多次没有机械能损失的碰撞后，最终恰好以相同的速度沿水平轨道运动。求此种情况下最后一次碰撞A球对B球的冲量。

Answer 1

解：⑴设A球到达圆弧轨道最低点时速度为v₀，则：

……………………………………………  ⑴

设此时A球对轨道压力为N，则：

…………………………………………  ⑵

设碰撞后A球的速度大小为v₁，对轨道的压力为N₁，B球的速度为v₂，则：

………………………………………   ⑶

………………………………   ⑷

…………………………………………  ⑸

…………………………………………………  ⑹

代入数值解上述方程组可得：

 或…………………………………………    (7)

⑵设最终两球的速度大小为v，根据机械能守恒可得：

………………………………     (8)

最后一次碰撞前A、B两球的速度分别为v_A、v_B，则：

………………………………   (9)

…………………     (10)

设最后一次碰撞A对B的冲量为I，根据动量定理得：

………………………………………      (11)

解上述方程组可得：………………     (12)

本题共20分，其中（2）（5）（6）（12）每式1分，其它各式每式2分。其他方法正确可得分。