Question

11．如图所示，用一根长为L=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑椎体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为F_T．（g取10m/s²，结果可用根式表示）求：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω₀至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
（3）细线的张力F_T与小球匀速转动的角速度ω的关系．

Answer 1

分析 （1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度ω₀．
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，运用牛顿第二定律求解．
（3）根据小球的角速度较小，小球贴着锥面运动和离开锥面运动两个过程，分析即可．

解答 解：（1）小球刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律得：
$\left.\begin{array}{l}{mgtanθ=m{{ω}_{0}}^{2}lsinθ}\\{则{{ω}_{0}}^{2}=\frac{g}{lcosθ}}\\{{ω}_{0}=\sqrt{\frac{g}{lcosθ}}=\sqrt{12.5}rad/s}\end{array}\right.$
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°时，小球离开锥面，由重力和细线拉力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
  mgtan60°=mω′²lsin60°
得，ω′=$\sqrt{\frac{g}{lcos60°}}$=$\sqrt{\frac{10}{1×\frac{1}{2}}}$=2$\sqrt{5}$rad/s
（3）a．当ω₁=0时  T₁=mgcosθ=8N；
b．当0＜ω＜$\sqrt{12.5}rad/s$时，根据牛顿第二定律得：
 $\left\{\begin{array}{l}{Tsinθ-Ncosθ=mω{\;}^{2}lsinθ}\\{Tcosθ+Nsinθ=mg}\end{array}\right.$
得：${F}_{T}=mgcosθ+ml{ω}^{2}si{n}^{2}θ=8+\frac{9}{25}{ω}^{2}$
c．当$\sqrt{12.5}rad/s≤ω≤\sqrt{20}rad/s$时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为β
 $\left.\begin{array}{l}{{T}_{3}sinβ=m{ω}^{2}lsinβ}\end{array}\right.$
得：$\left.\begin{array}{l}{{F}_{T}=ml{ω}^{2}}\end{array}\right.$
答：（1）小球的角速度ω₀至少为$\sqrt{12.5}$rad/s．
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为2$\sqrt{5}$rad/s．
（3）a．当ω₁=0时  T₁=mgcosθ=8N；
b．当0＜ω＜$\sqrt{12.5}rad/s$时，${F}_{T}=8+\frac{9}{25}{ω}^{2}$
c．当$\sqrt{12.5}rad/s≤ω≤\sqrt{20}rad/s$时，小球离开锥面，细线的拉力$\left.\begin{array}{l}{{F}_{T}=ml{ω}^{2}}\end{array}\right.$

点评 本题的关键点在于判断小球是否离开圆锥体表面，不能直接应用向心力公式求解，并要运用数学知识作出图象，难度较大．