Question

（2005?西城区模拟）质量为m的小球B用一根轻质弹簧连接．现把它们放置在竖直固定的内壁光滑的直圆筒内，平衡时弹簧的压缩量为x₀，如图所示，小球A从小球B的正上方距离为3x₀的P处自由落下，落在小球B上立刻与小球B粘连在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，并恰能回到0点（设两个小球直径相等，且远小于x₀略小于直圆筒内径），已知弹簧的弹性势能为

1

2

k?△x2，其中k为弹簧的劲度系数，△x为弹簧的形变量．求：
（1）小球A质量．
（2）小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出小球A与小球B相碰前的速度，再根据动量守恒定律求出碰后的速度，对A、B组成的系统，从B点到回到O点的过程，运用动能定理求出小球A的质量．
（2）当弹簧的弹力等于A、B两球的总重力时，小球A、B的速度最大，根据力的平衡求出两球下降的距离，再对系统运用机械能守恒定律，求出最大速度．

解答：解：（1）由平衡条件可知：mg=kx₀  
设A的质量为m'，A由静止下落后与B接触前的瞬时速度为v₁，则：m′g3x0=

1

2

m′

v

2 1

∴v1=

6gx0

设A与B碰撞后的速度为v₁'，有：m'v₁=（m+m'）v₁'∴v1′=

m′

m+m′

6gx0

由于A、B恰能回到O点，据动能定理有：-(m+m′)gx0+

1

2

k

x

2 0

=0-

1

2

(m+m′)v1′2
解得：m'=m   
（2）设由B点再向下运动x₁时，它们的速度达到最大，此时它们的加速度为零，有：

(m′+m)g=k(x1+x0)

∴x1=x0

据机械能守恒定律有：(m+m′)gx1+

1

2

(m+m′)v1′2+

1

2

k

x

2 0

=

1

2

(m+m′)vm2+

1

2

k(

x

1

+

x

0

)2
解得：vm=

2gx0

答：（1）小球A质量等于m．
（2）小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值为

2gx0

．

点评：本题综合运用了动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律，综合性较强，关键是选择好研究的过程，运用合适的规律列表达式求解．