Question

如图（a）所示，在垂直于匀强磁场B的平面内，半径为r的金属圆盘绕过圆心O的轴转动，圆心O和边缘K通过电刷与一个电路连接，电路中的P是加上一定正向电压才能导通的电子元件．流过电流表的电流I与圆盘角速度ω的关系如图（b）所示，期中ab段和bc段均为直线，且ab段过坐标原点．ω＞0代表圆盘逆时针转动．已知：R=3.0Ω，B=1.0T，r=0.2m．忽略圆盘、电流表和导线的电阻



（1）根据图（b）写出ab、bc段对应I与ω的关系式
（2）求出图（b）中b、c两点对应的P两端的电压U_b、U_c
（3）分别求出ab、bc段流过P的电流I_p与其两端电压U_p的关系式．

Answer 1

（1）由图可知，在ab段，直线斜率k₁=

△I1

△ω1

=

1

150

故对应I与ω的关系式为：I=

1

150

ω  （-45rad/s≤ω≤15 rad/s）
在bc段，直线斜率k₂=

△I2

△ω2

=

1

100

设表达式I=k₂ω+b，把ω=45rad/s，I=0.4A代入解得b=-0.05
故对应I与ω的关系式为：I=

1

100

ω-0.05  （15rad/s≤ω≤45 rad/s）
（2）圆盘转动时产生的感应电动势E=Brv=Br

0+ωr

2

=

1

2

Br²ω
故b点对应的P两端的电压U_b=E_b=

1

2

Br²ω_b
c两点对应的P两端的电压U_c=E_c=

1

2

Br²ω_c
代入数据解得U_b=0.30V
U_c=0.90V
（3）由U_p=（ I-I_p）R可知
ab段流过P的电流I_p与其两端电压U_p的关系式为
U_p=-3I_p+

1

50

ω  （0≤ω≤15 rad/s）
或U_p=3I_p-

1

50

ω   （-45rad/s≤ω≤0）
bc段流过P的电流I_p与其两端电压U_p的关系式
U_p=-3I_p+

3

100

ω-0.15  （15rad/s≤ω≤45 rad/s）
答：（1）ab、bc段对应I与ω的关系式分别为I=

1

150

ω （-45rad/s≤ω≤15 rad/s），I=

1

100

ω-0.05 （15rad/s≤ω≤45 rad/s）．
（2）中b、c两点对应的P两端的电压分别为0.30V，0.90V．
（3）ab流过P的电流I_p与其两端电压U_p的关系式分别为：U_p=-3I_p+

1

50

ω （0≤ω≤15 rad/s）或U_p=3I_p-

1

50

ω （-45rad/s≤ω≤0），bc段流过P的电流I_p与其两端电压U_p的关系式U_p=-3I_p+

3

100

ω-0.15 （15rad/s≤ω≤45 rad/s）．