题目内容

15．为研究物体的运动，在光滑的水平桌面上建立如图所示的坐标系xOy，O、A、B是水平桌面内的三个点，OB沿x轴正方向，∠BOA=60°，OB=$\frac{3}{2}$OA，第一次将一质量为m的滑块以一定的初动能从O点沿y轴正方向滑出，并同时施加沿x轴正方向的恒力F1，滑块恰好通过A点，第二次，在恒力F1仍存在的情况下，再在滑块上施加一个恒力F2，让滑块从O点以同样的初动能沿某一方向滑出，恰好也能通过A点，到达A点时动能为初动能的3倍；第三次，在上述两个恒力F1和F2的同时作用下，仍从O点以同样初动能沿另一方向滑出，恰好通过B点，且到达B点时的动能是初动能的6倍，求：
（1）第一次运动经过A点时的动能与初动能的比值；
（2）两个恒力F1、F2的大小之比$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$是多少？并求出F2的方向与x轴正方向所成的夹角．

分析 （1）只有恒力F1时，滑块做类平抛运动，根据分位移的规律和牛顿第二定律，求第一次运动经过A点时的动能与F1d的关系，以及初动能与F1d的关系，即可求解．
（2）加了恒力F2后，小球从O点分别到A点和B点，分别由功能关系列方程，再结合恒力做功的特点进行解答．

解答 解：（1）设小球的初速度为v0，初动能为Ek0，从O点运动到A点的时间为t．令OA=d，则OB=$\frac{3}{2}$d，只有恒力F1时，根据类平抛运动的规律有：
dsin60°=v0t
dcos60°=$\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}$
又 ax=$\frac{{F}_{1}}{m}$，Ek0=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立以上四式解得 Ek0=$\frac{3}{8}$F1d
设小球到达A点时的动能为EkA，则
EkA=Ek0+F1•$\frac{d}{2}$=$\frac{7}{8}$F1d
所以可得 $\frac{{E}_{kA}}{{E}_{k0}}$=$\frac{7}{3}$
（2）由上可得，F1d=$\frac{8}{3}$Ek0
加了恒力F2后，小球从O点分别到A点和B点，由功能关系得：
WF2=3Ek0-Ek0-F1•$\frac{d}{2}$=$\frac{2}{3}$Ek0
WF2′=6Ek0-Ek0-$\frac{3{F}_{1}d}{2}$=Ek0
由恒力做功的特点，可在OB上找到一点M，从O到M点F2做功与到A点做功相同，M点与O点的距离为x，如图，则有
    $\frac{x}{\frac{3}{2}d}$=$\frac{{W}_{F2}}{{W}_{F2}′}$
解得：x=d
则据恒力做功特点：F2的方向必沿AM的中垂线，设F2与x轴正方向的夹角为α，由几何关系可得 α=30°
根据WF2=F2•dcos30°=$\frac{2}{3}$Ek0
得：F2•d=$\frac{4}{3\sqrt{3}}$Ek0
又 F1d=$\frac{8}{3}$Ek0
所以 $\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=2$\sqrt{3}$
答：
（1）第一次运动经过A点时的动能与初动能的比值是$\frac{7}{3}$；
（2）两个恒力F1、F2的大小之比$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$是2$\sqrt{3}$，F2的方向与x轴正方向所成的夹角是30°．

点评 解决本题的关键要掌握类平抛运动的研究方法：运动的合成与分解，运用牛顿运动定律和运动学公式研究分运动的规律，结合功能关系研究动能．

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