Question

倔强系数为k的水平轻质弹簧，左端固定，右端系一质量为m的物体．物体可在有摩擦的水平桌面上滑动（如图）．弹簧为原长时物体位于O点，现在把物体沿弹簧长度方向向右拉到距离O点为A₀的P点按住，放手后弹簧把物体拉住．设物体在第二次经过O点前，在O点左方停住．计算中可以认为滑动摩擦系数与静摩擦系数相等．
（1）讨论物体与桌面间的摩擦系数μ的大小应在什么范围内．
（2）求出物体停住点离O点的距离的最大值．并回答：这是不是物体在运动过程中所能达到的左方最远值？为什么？

Answer 1

分析：（1）物体在距离O点为l处停住不动的条件是：一是物体的速度为0，弹性势能的减小量等于克服滑动摩擦力所做的功，二是弹簧弹力小于等于物体与水平面的最大静摩擦力，据此分析计算动摩擦因数的大小范围；
（2）根据（1）的分析过程讨论最远点距O点的距离．

解答：解：（1）对物体运动做如下分析：
①物体向左运动并正好停在O点的条件是：

1

2

k

A

2 0

=μmgA0得：
μ=

1

2mg

kA0
②若μ＜

1

2mg

kA0，则物体滑过O点，设它到O点左方B处（设OB=L₁）时速度为0，则有：

1

2

k

A

2 0

-

1

2

k

L

2 1

=μmg(A0+L1)    
（2）若物体能停住，则kL₁≤μmg，故得μ≥

1

3mg

kA0
③如果②能满足，但μ＜

1

3mg

kA0，则物体不会停在B处而要向右运动．μ值越小，则往右滑动的距离越远．设物体正好停在O处，则有：

1

2

k

L

2 1

=μmgL1
得μ=

1

4mg

kA0．题目要求停在O点的左方，则相应地要求μ＞

1

4mg

kA0
综合以上分析得，物体停在O点左方而不是第二次经过O点时，μ的取值范围为：

kA0

4mg

＜μ＜

kA0

2mg

（2）当μ在

1

3mg

kA0≤μ≤

1

2mg

kA0范围内时，物体向左滑动直到停止而不返回，由（2）式可求出最远停住点（设为B₁点）到O点的距离为L，则：
L=A0-

2μmg

k

=A0-(

2mg

k

)(

kA0

3mg

)=

A0

3

当μ＜

1

3mg

kA0时，物体在B₁点（OB₁=

A0

3

）的速度大于0，因此物体将继续向左运动，但它不可能停在B₁点的左方．因为与B₁点相对应的μ=

1

3mg

kA0，L₁=

A0

3

，如果停留在B₁点的左方，则物体在B₁点的弹力大于

kA0

3

，而摩擦力μmg=

kA0

3

，小于最大静摩擦力，所以物体不可能停住而一定返回，最后停留在O与B₁之间．所以无论μ取何值，物体停住与O点的最大距离为

A0

3

，但这不是物体在运动过程中所能达到的左方的最远值．
答：（1）物体与桌面间的摩擦系数μ的大小应在

kA0

4mg

＜μ＜

kA0

2mg

；
（2）求出物体停住点离O点的距离的最大值为

A0

3

这不是物体在运动过程中所能达到的左方最远值．原因见分析．

点评：本题关键抓住极限法，求出物体停在某一位置上时的条件，根据临界条件逐一分析可能值，抓住关键的临界点，巧用极限法讨论分析是关键．本题是竞赛题难度较大．