Question

如图所示，一条圆弧轨道与大小不同的两个圆环轨道连接在一起，质量为m的小球从高为h处由静止开始滑下，在小环（底部稍错开一些）内侧运动一周后．刚好能通过大环的最高点．若大环的半径是小环半径的2倍，轨道表面光滑，不计空气阻力，重力加速度为g，求
（1）小环的半径r；
（2）小球通过小环的最高点时对小环的压力大小．

Answer 1

分析：（1）小球刚好能通过大环的最高点，是一个临界情况，即轨道此时对小球的弹力为0，重力提供向心力．在运动的过程中只有重力做功，机械能守恒．根据机械能守恒求出小环的半径．
（2）根据机械能守恒求出在小环最高点的速度，小球受重力和轨道弹力的合力提供向心力，求出弹力，再根据牛顿第三定律求出小球对小环的压力．

解答：解：（1）大环半径为2r，在大环最高点由牛顿第二定律得mg=m

v 2 2

2r

小球从开始下滑到大环最高点过程机械能守恒    mgh=4mgr+

1

2

m

v

2 2

由以上两式解得r=

h

5

（2）小球从开始下滑到小环最高点过程机械能守恒．mgh=2gmr+

1

2

m

v

2 1

在小环最高点时，由牛顿第二定律得    F+mg=m

v 2 1

r

由以上两式解得F=5mg
由牛顿第三定律知球对小环压力大小为F'=5mg．

点评：解决本题的关键熟练运用机械能守恒定律，以及知道在圆周运动的最高点和最低点，沿半径方向的合力提供向心力．