Question

（2013?广州三模）如图所示，两平行金属板E、F之间电压为U，两足够长的平行边界MN、PQ区域内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力），由E板中央处静止释放，经F板上的小孔射出后，垂直进入磁场，且进入磁场时与边界MN成60°角，最终粒子从边界MN离开磁场．求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径r；
（2）两边界MN、PQ的最小距离d；
（3）粒子在磁场中运动的时间t．

Answer 1

分析：（1）带电粒子先在电场中加速，后进入磁场做匀速圆周运动．由动能定理求出加速获得的速度大小．粒子离开电场后，垂直进入磁场，由洛仑兹力提供向心力，由牛顿第二定律求半径；
（2）当粒子在磁场中的轨迹恰好也PQ相切时，两边界MN、PQ的距离最小，画出粒子的运动轨迹，由几何关系求最小距离；
（3）求出粒子圆周运动的周期，确定出轨迹的圆心角θ，由t=

θ

2π

T求磁场中运动的时间．

解答：解：（1）设粒子离开电场时的速度为v，由动能定理有：
    qU=

1

2

mv2    ①
解得：v=

2qU m

    ②
粒子离开电场后，垂直进入磁场，由洛仑兹力提供向心力有：
   qvB=m

v2

r

     ③
联立②③解得：r=

1

B

2mU q

    ④
（2）当粒子在磁场中的轨迹恰好也PQ相切时，两边界MN、PQ的距离最小，所以最终粒子从边界MN离开磁场，需满足：
   d≥r+rsin30°    ⑤
联立④⑤解得：d≥

3

2B

2mU q

      ⑥
两边界MN、PQ的最小距离d为

3

2B

2mU q

（3）粒子在磁场中做圆周运动的周期T=

2πr

v

     ⑦
联立③⑦解得：T=

2πm

qB

粒子在磁场中运动的时间t=

240°

360°

T=

4πm

3qB

  ⑨
答：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径r是

1

B

2mU q

；
（2）两边界MN、PQ的最小距离d是

3

2B

2mU q

；
（3）粒子在磁场中运动的时间t是

4πm

3qB

．

点评：本题中带电粒子在组合场中运动的类型，画出粒子的运动轨迹，运用几何知识和牛顿第二定律研究磁场中轨迹问题．