Question

科学家正在研究架设一条长度约为10万公里的从地面到太空的“太空梯”，由缆绳、海面基地、太空站和升降机组成．缆绳用质量轻、强度大、韧度高的“碳纳米管”制成，缆绳一端固定在位于赤道某处的海面基地上，另一端固定在位于太空的巨大太空战上．除升降机外，整个装置相对于地面保持静止，且绷直的缆绳始终垂直于海平面指向地心．升降机上装有两套履带装置，从两侧紧扣缆绳，这样升降机就可以沿缆绳上下运动，或者在摩擦力作用下牢牢固定在缆绳上任意位置，如图所示．
设想在太空中距离地面某一高度，升降机与缆绳之间的相互作用力恰好为零，且相对于缆绳保持静止状态，求此时升降机距离地面的高度．已知地球半径R，地球表面重力加速度g，地球自转角速度ω．

Answer 1

分析：缆绳跟地球具有相同的角速度，通过万有引力提供向心力来求解，从而知道管道的长度．

解答：解：设地球质量为M，万有引力常量为G，则质量为m₀的物体在地面受到的重力与万有引力大小近似相等　　　
m₀g=G

Mm0

R2

①
设在距地面h高处，质量为m的升降机与缆绳之间相互作用力恰好为零，此时由万有引力提供升降机绕地球做匀速圆周运动的向心力，
由牛顿第二定律：
G

Mm

(R+h)2

=mω2(R+h)②
由①②得：h=(

gR2

ω2

)

1

3

-R
答：此时升降机距离地面的高度(

gR2

ω 2

)

1

3

-R．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和和万有引力等于重力．